學霸的黑科技系統 第一千一百二十七章 霍奇猜想的新思路

陸舟還記得，當時他在黑板上研究自己的超橢圓曲線分析法，並且用了一種非常巧妙的方法，將這個原本為準黎曼猜想設計的數學工具，改進之後直接運用在了對非奇異複代數簇的代數拓撲，以及其定義子簇的多項式方程所表述的幾何關聯問題的研究上。

當初也正是因為這一手漂亮的操作，讓陸舟不禁動了愛才之心，將他從燕大數學中心挖到了金陵這邊來。

現在已經過去快一年了，關於霍奇猜想的課題仍然沒有絲毫的進展，再加上前段時間一直在忙代數幾何統一理論的事情，以至於陸舟都快把這件事給忘了。

“走，去我辦公室說。”

帶著陳陽來到了自己的辦公室，陸舟親自去牆角幫他拖來了一張白板，並且將自己的記號筆遞到了他的手上。

沒有將時間浪費在客套上，接過了筆之後，站在白板前的陳陽思索了片刻，首先在白板上隨手畫了個圓，然後在旁邊標記了S，並寫下了一行表達式。

“……對於緊致無邊的曲面S，其Gauss曲率K可以在整個曲面上進行積分。”

一邊寫著，陳陽一邊繼續說道。

“眾所周知的是，一個曲面不一定隻容有一個度量，所以我嘗試對S的度量進行了更換。在更換了度量之後，相應的Gauss曲率K同樣也會發生改變，但積分值卻與曲面的度量無關，而隻與曲面的Euler示性數X(S)有關，利用這一性質，我們可以——”

看著白板上的算式，陸舟眉毛輕輕抬了下，饒有興趣地說道。

“Gauss-公式?”

手中的筆停住，陳陽點了下頭說道。

“正是。”

說罷，他將Gauss-公式寫了上去。

看到這畫龍點睛的一筆，陸舟的臉上感興趣的神色愈發濃烈了。

事實上，他大概已經猜到，陳陽是打算幹什麽了。

根據高維黎曼流形M的性質，Gauss曲率可以推廣為截面曲率，它的值可以由黎曼曲率的張量決定。至於其被積函數，則是由曲率張量組成的很複雜的代數式——即Gauss-被積函數。

至於其在整個流形上的積分，則是由這個流形的Euler示性數X(M)所決定。

利用這些性質，便能夠將Hodge理論推廣到完備非緊流形中。

這些深刻的數學意義，是由陳省身教授得到的，也就是著名的Gauss––陳公式中的數學內涵。

再結合阿提亞爵士的L2上同調方法，沿著這條思路繼續走下去，搞不好還真能把這個猜想給證出來。

當然，具體該如何證明，還需要深入研究一下就是了。

想到這裡，陸舟讚許地點頭。

秒啊。

實在是妙。

不知何時，陳陽的背後已經站了一圈人。

早在他剛剛開始板書的時候，辦公室裡的人便注意到了這邊。

盯著白板上的算式，季默兩眼發光，激動的小聲說道:“這，難道就是傳說中的——”

見自己師弟說話又隻說了一半，何昌文皺了下眉頭，低聲道:“到底是啥，別賣關子。”

季默奇怪地看了他一眼。

“霍奇猜想啊！很明顯嘛。”

何昌文:“……”

這特麽哪裡明顯了?！

不過仔細一看，好像確實是這樣。

想到這裡，何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

嗯，如果認真看的話，他應該也是能看出來的。

白板上的筆停下了，陳陽陷入了沉思。

顯然，這條思路他隻走到了一半，後面該怎麽走還沒有很好的想法。

不知何時來的辦公室，站在旁邊一直沉默不語的佩雷爾曼教授，忽然開口說道。

“這條思路看起來有點意思。”

回頭看向了佩雷爾曼教授，陳陽微微愣了下，有些意外地說道。

“您是什麽時候過來的?”

“大概在你寫到一半的時候……本來我是來找陸教授的，沒想到在這裡還有意外收獲，”停頓了一下，佩雷爾曼繼續說，“……可以給我用下筆嗎?”

沒有任何的猶豫，陳陽果斷將手中的記號筆讓了出來。

從陳教授的手中接過了筆，站在白板前的佩雷爾曼沉思了片刻，隨後在他的算式下面空了幾行，繼續寫了起來。

“既然有現成的代數幾何統一理論可以運用，式(3)的證明我就省略了。”

“……我的建議是，對於之後部分的證明，我們可以將緊流形M問題提升到它的通用覆蓋流形上，得到完備非緊流形M。”

“根據阿提亞的定理，如果我們能在截面曲率的條件下證明除了中間的L2同調群其余都為零……”

說著，他手中的筆輕輕抖了一下，很快寫下了一行簡潔而優美的算式。

【H^n(M)6≠{0}，且當q≠n時，H^q(M)={0}】

看到這行算式的瞬間，陳陽的瞳孔微微收縮。

臉上的表情瞬間浮現了一絲明悟，他壓抑著激動的語氣說道。

“……我們就能得到霍奇猜想的證明！”

那麽問題來了。

該如何證明，在截面曲率的條件下，除了中間的L2同調群其余都為零?

對話到這裡忽然戛然而止了。

短暫的興奮之後，兩人不約而同地陷入了沉默。

最後，又不約而同地看向了陸舟。

注意到兩人看向自己，從頭到尾一句話都沒說的陸舟忽然眨了眨眼，笑著說道。

“我覺得你們的想法都不錯……雖然我沒仔細研究過這個課題，但直覺告訴我照著這條路走下去，八成是能夠有所收獲的。”

頓了頓，他繼續說道。

“這個思路非常有意思，我的建議是，你們不如一起研究這個課題好了。”

總感覺陸舟似乎看出來了些什麽，卻又沒有把話說明白。

佩雷爾曼皺了下眉頭，遲疑問道。

“你不參與嗎?這可是個很有意思的難題。”

何止是有意思。

霍奇猜想可以說是現代數學發展中抽象特征的集中體現，研究的是數學三大分支——分析、拓撲、代數幾何之間的內在聯系。

至於難度，作為千禧難題的它， 自然是毋庸置疑的。

令佩雷爾曼詫異的是，陸舟居然沒有表現出很強烈的興趣。

陸舟:“……雖然我很感興趣，但IMCRC那邊還有一堆事情等著我去處理，恐怕最近我都沒有更多的時間，能夠分配到數學這邊了。”

聽到這個消息，佩雷爾曼臉上露出了遺憾的表情。

“那實在是太遺憾了。”

“雖然我恐怕抽不出時間幫忙，但我鄭重的向你推薦陳教授，”拍了拍陳陽的肩膀，陸舟笑著說道，“他是一位優秀的學者，關於他的能力，相信你也是了解的，我就不多吹牛了。總之，你們合作的話，我相信一定能夠解決這個問題。”

雖然對這種絕對的說法表示懷疑，但看了一眼陳教授，佩雷爾曼也沒有說什麽，只是點了下頭，看樣子是認可了這位合作夥伴。

兩人都是那種話不多的類型，也沒有太多的交流。

陸舟清了清嗓子之後，看著佩雷爾曼繼續說道。

“說起來，你繼續留在這邊沒問題嗎?代數與幾何的統一理論已經完成了。”

“沒有問題，”佩雷爾曼搖了搖頭，“我和母親已經打過電話了，她讓我去做自己想做的事情，不用太在意她那邊。我確實還有想做的事情沒有完成，我打算在這裡……再待一段時間，把霍奇猜想解決了再回去。”

雖然很意外佩雷爾曼教授居然會選擇留下來，但這種好事陸舟自然是不會拒絕，當即笑著說道。

“那你還是住在原來那個公寓吧，我會幫你申請延長公寓的使用時間。”

佩雷爾曼點了點頭，感謝道。

“麻煩你了。”