学霸的征途是星辰大海 第15章 省赛第一场

此时的徐辰，确实遇到了麻烦。

【这个问题，有点棘手。】

他把陈老师给的竞赛资料在脑子里过了一遍，很确定，没有讲过这类问题的解题技巧。

陈老师的资料也是托关系从别的学校要来的，都是些常规的竞赛知识点。对于安城三中大部分学生来说，已经完全够用了，再深的东西，教了也学不会。

所以，徐辰现在只有一个大概的方向，但缺少趁手的数学工具。

他停下笔，开始思考。

【要证明存在一种「好」的着色方案，可以反过来想，证明「所有方案都不好」的概率小于1。】

【一个「不好」的方案，就是指至少有一条边的两个端点颜色相同。】

他想到了概率论里最基础的工具——联合界。

【假设A_i是第i条边颜色相同的事件，那麽P(A_i)=1/k。如果图里有m条边，所有坏事件的概率加起来就是m/k。】

笔尖在草稿纸上划了几行，徐辰又停下了。

【不行。m的最大值能到Nd/2，这样算出来的概率和很可能会大于1。联合界这个方法太粗糙了，行不通。】

他轻轻划掉了刚写的几行字。

徐辰闭上眼睛，屏蔽了周围的杂音，脑子里只剩下那张由点和线构成的抽象的图。

【这些「坏事件」A_i之间，不是完全独立的。一条边出问题，会影响到和它共用一个顶点的其他边……但是，这种影响是局部的。】

「局部」！

这个词像钥匙一样，打开了他脑中的一扇门。

徐辰猛地睁开眼，目光里透着一股专注。

【对，一个事件A_i，只和少数跟它「相邻」的事件有关。一条边，最多只和2(d-1)条其他边共用顶点。它的影响范围是有限的。】

【如果能找到一个方法，精确地描述这种「有限影响」，是不是就能把那个大于1的概率和给降下来？】

他没学过什麽洛瓦兹局部引理。

他的世界里，没有现成的公式可以套。

他要做的，是从最基本的概率公理出发，自己动手，搭一座通往答案的桥。

他的笔又动了。

这一次，不再是试探，而是带着明确的方向进行推演。

他开始尝试构建一个更精细的概率不等式。

【假设，给每个坏事件A_i，都分配一个在(0，1)之间的权重x_i。如果能证明，每个事件A_i发生的概率，都小于一个由它自己和它所有「邻居」的权重共同决定的数值……】

这个想法很大胆，推导过程也极其复杂。

P(A_i)≤x_i*Π_{j与i相关}(1-x_j)

当这个不等式被他写在草稿纸上时，他感觉自己抓住了问题的关键。

接下来，就是海量的计算和放缩。草稿纸一张接一张地被写满，上面的符号和逻辑箭头，密密麻麻。

【计算量太大了，脑子有点跟不上了。】

徐辰看了看时间，还剩30分钟，时间有点紧。

【对了，专注胶囊！】

他想起了系统新手任务奖励的5颗专注胶囊。

【系统，使用专注胶囊。】

一瞬间，徐辰感觉大脑变得异常清晰和冷静，外界的一切干扰都消失了，全部的注意力都集中在了眼前的题目上。

他的计算速度和思维效率，陡然提升。

5分钟……

10分钟……

15分钟……

汗水从额头渗出，滑过脸颊，他却毫无察觉。

当第五张草稿纸写满时，那组复杂的不等式，终于被他整理成了一个简洁而清晰的形态。

若存在x_i∈(0，1)，使得对所有i，都有P(A_i)≤x_i*Π_{j∈Γ(i)}(1-x_j)成立，则P(∩A_i^c)＞0。

他利用题目给的条件e(d 1)≤k，巧妙地构造出了一个统一的权重x=1/(d 1)，并最终证明了这个不等式成立！

做出来了。

他并不知道这个引理的名字。

他只是从最基本的概率公理出发，敏锐地抓住了「局部依赖」这一核心，然后用自己恐怖的数学直觉和构建能力，硬生生地在现场，手动推导了「洛瓦兹局部引理」！

他猛地抬头看了一眼墙上的时钟。

只剩下……十分钟了！

而他，才刚刚完成证明，还没往答题卡上抄！

徐辰立刻开始誊写。因为是从最基本的原理开始推导，他的证明过程非常长，几乎写满了整个答题区。字迹因为高速书写而略显潦草，但每一步都逻辑清晰，无可辩驳。

终于，在距离考试结束还有三分钟的时候，他停下了笔。

长长地舒了一口气。

【应该……都做对了。】

【就是不知道最后这道题，过程写得这麽复杂，会不会被扣步骤分。】

【不过，就算扣几分，拿个省一，应该也够了。】

……

第一场考试结束了。

第二场考试和第一场考试中间只有20分钟的休息时间。

考场外，走廊上。

安城三中的四人，再次聚到了一起。

「唉，最后一题太难了，完全没思路。」林晓雅一脸沮丧。

「是啊，我连题目的考点都没看出来。」张浩也叹了口气。

李帆因为参加过省城的金牌辅导班，自认为是校队里唯一能做出来的人，故作深沉地说道：「考的是洛瓦兹局部引理。不过计算过程啊还是很复杂，我写上了，但不知道会不会扣过程分。」

他这番话，瞬间引来了林晓雅和张浩崇拜的目光。

「李帆你太厉害了！这都能做出来！」

「看来这次省一有希望了！」

随后，张浩看向一旁的徐辰，关心得问道。

「徐辰，你考的怎麽样？」张浩问道「看你一直在算，我看你中途还要了好多草稿纸，应该是卡住了吧」。

徐辰说，「最后一题确实有点难，我花了快40分钟才写完。」

「写完？也就是说，你做出来了？！」张浩吃惊。

李帆则是不太相信地看着他，问道：「你知道【洛瓦兹局部引理】？你不是三天前才学的数学竞赛知识嘛，这个知识点算是超纲了，你怎麽会知道。」

徐辰说「我这不知道哪个什麽【洛瓦兹局部引理】，我就是用原始的方法，硬算的」，徐辰实话实说，「过程有点繁琐，草稿纸都用了五六张。」

「噗——」

李帆像听到了本世纪最好笑的笑话，夸张地大笑起来：「硬算？徐辰，你开什麽玩笑！那道题的计算量，你用手硬算？不可能，绝对不可能！」

徐辰看着他的模样，只是笑了笑，没有再解释。

有些事情，说再多也没用。等结果出来，自然就不得不信。