学霸的征途是星辰大海 第45章 新的副本

当最后一道题的最后一个符号落下，考试结束的铃声，如同终场哨声，宣告了这场长达九个小时的智力马拉松的终结。

整个考场，瞬间从极致的寂静，切换到了劫后馀生的喧嚣。

中国队的队员们在酒店的休息区集合，每个人的脸上都写满了疲惫，眼神中却又闪烁着一丝不确定的光芒。

「第六题……那根本不是人做的题。」罗耀龙第一个开口，声音里带着一丝虚脱，「我花了最后一个小时，连个像样的思路都没摸到。」

「我也是，」方博苦笑着摇头，「感觉像是撞上了一堵墙，连从哪儿下手都不知道。」

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李振华教授走了过来，脸色平静，但眼神中却透着一丝不易察觉的紧张。他没有先问结果，而是先给队员们递上了水。

「都辛苦了。」他沉声说道，「现在，大家自己心里估个分，不用太精确，给我一个大概的范围。」

队员们开始小声地交流丶核对答案。很快，一个初步的估算结果出来了。

除了徐辰，其他五名队员，前五道题的得分率都极高，基本都在30到35分之间。但在那道地狱级的第六题上，所有人都栽了跟头，估分普遍在0到2分之间。

所有人的目光，最后都聚焦到了徐辰身上。

「我应该……是满分。」徐辰的回答一如既往地平静，仿佛只是在陈述一件微不足道的小事。

这个答案，没有在队友中引起任何波澜。他们早已麻木了。

李振华点了点头，这个结果在他的预料之中。他转身离开了一会儿，显然是去动用他的人脉，打探其他强队的情况了。

十几分钟后，他回来了，脸色比之前更加凝重。

「情况……不太乐观。」他看着眼前的六位队员，一字一顿地说道，「我刚和美国队的教练聊了聊，他们的估分情况，和我们非常接近。林逸轩，也声称自己做出了第六题。其他队员的情况也和我们类似。」

他顿了顿，补充道：「也就是说，今年的团体总分第一，胜负，只在五五之数。最终的结果，可能只取决于阅卷组对第六题那道开放性极强的解法，给分的松紧程度。」

这个消息，让所有队员的心，都再次揪了起来。

「那……那其他队呢？」方博忍不住问道。

李教授的脸上，突然露出了一丝古怪的丶想笑又不好意思笑的表情。

「我们的主要对手还是美国队。不过其他队我也问了，韩国队和日本队，估计平均比我们要低3到5分。」

他清了清嗓子，「我刚才还遇到了印度队的领队，顺便问了一下他们的估分情况。」

「他们怎麽说？」众人好奇地问。

「他们说，」李教授的嘴角，终于忍不住抽搐了一下，「他们六名队员，估分……全都是满分。」

「噗——」

中国队的队员们，先是一愣，随即都忍不住笑了出来。

之前那紧张压抑的气氛，瞬间被这股来自恒河彼岸的「神秘自信」冲得烟消云散。

……

IMO的正式成绩和最终排名，要等到第二天的闭幕式才会公布。

这中间的一天，是留给各国队员自由活动的时间。

主办方安排了去千叶市几个着名景点的旅游线路，但对于这群刚刚经历过极限脑力消耗的少年来说，古老的寺庙和宁静的园林，显然没什麽吸引力。

最终，大家还是早早地回到了酒店休息。

……

夜深人静，徐辰躺在酒店柔软的床上，却毫无睡意。

徐辰打开了系统面板，今天的第6题，确实有点东西。在完成了解答后，系统奖励了5点数学经验。

【当前数学等级：Lv.1(40/500)】

对于现在的徐辰来说，能够提升数学经验点的试题越来越少了。

徐辰也总结出了一些规律，对于完全新的知识，系统会给与比较多的经验，但是重复学就不会加了。但是呢如果你想要继续深入学习，等级不够学起来又很吃力，经验涨的依旧很慢。所以，真正长经验应该还是要靠做任务。

之前在CMO结束后解开的许康桦老师的2道悬赏试题，还能拿到5个经验点，但是现在完成差不多同等级的，连1点经验点拿不到了。

【看来，许康桦老师那边新手村的任务，已经刷完了。】他心中暗道，【我是时候，去挑战更高级的副本了。】

他的目光，转向了那个被他收藏已久的丶界面朴素的个人博客——金陵大学，孙智伟教授的主页。

孙智伟教授进行了一个简单的归类。

【第一类：整数的特殊表示与组合数论】

副本描述：研究整数能否用平方丶幂丶组合数等特殊形式表示。

典型任务：「三幂五幂猜想」（任意正整数n是否可以写成a3 b3 c3 d? e?的形式）丶「1-3-5猜想」（每个正整数能否写成三个奇数平方之和）。

难度评级：两颗星

占比：约10%

第一类的猜想，大多与经典的「堆垒数论」相关，如拉格朗日四平方和定理丶华林问题等。许多问题，可以利用已有的成熟理论框架进行攻击，甚至只需少量的计算即可验证。对徐辰而言，这里更像是一个「热身区」。

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【第二类区域：单位分数表示与整除性猜想】

副本描述：主要研究正有理数是否可以用不同素数的单位分数（如1/p或1/p2）之和来表示，或探讨诸如∑(1/p?)的整数性与整除性。

典型任务：任意正有理数r能否写成不同素数的1/p2之和。

难度评级：三颗星

题目数量占比：约60%

第二类的猜想，核心在于「埃及分数」理论的推广和深化，与「解析数论」中的级数理论紧密相连。虽然大多数猜想已经在计算机上验证到数十亿甚至上万亿的范围，证明仍缺乏统一的理论，但庞大的实验数据，为研究者提供了明确的方向。

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【第三类区域：相邻（或交错）素数的和差表示】

副本描述：探索相邻或交错素数的加减组合能否产生任意整数。

典型任务：在长度不超过n的连续素数段{p?，...，p?????}中，交错相加是否能得到任意正整数m。

难度评级：四颗星

题目数量占比：约30%

第三类猜想，已经触及到了素数分布的「局部性质」，需要高阶的「组合数论」或「概率数论」方法。虽然可以在计算机上检验大量区间，但其内在规律如同混沌中的蝴蝶，难以捕捉，需要全新的理论框架。

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【第四类区域：第n个素数p?的数值与组合性质】

副本描述：关注第n个素数本身的数值特徵以及它们之间的代数或整除关系。

典型任务：对每个正整数n，是否存在正整数k使得p?|p??? k。

难度评级：五颗星

题目数量占比：约30%

第四类的猜想，直指整个数论领域最核心丶最神秘的圣杯——素数的「全局规律」。每一个猜想的背后，都可能与「黎曼猜想」丶「哥德巴赫猜想」这类世纪难题有着千丝万缕的联系。迄今为止，只有零星的特例得到证明，整体上仍属人类数学智慧尚未征服的前沿难题。

……

他没有好高骛远，直接去挑战那些五星难度的猜想。

他深知，饭要一口一口吃，路要一步一步走。

他将目光，锁定在了难度最低的【第一类】问题上。

他从中选择了一道被孙教授本人标注了「悬赏300美元」的题目，作为自己踏入这片新大陆的「第一步」。

【猜想138：对于任何大于1的整数n，方程4/n=1/x 1/y 1/z必有正整数解(x，y，z)。】

这是一个在数论领域流传已久，看似简单却异常坚固的猜想。它属于「埃及分数」的范畴，要求将一个简单的有理数，分解为三个单位分数的和。无数数学家曾尝试攻克它，但一个完整的丶普适性的证明，却迟迟未能出现。

【有意思，一个形式如此简洁的丢番图方程，竟然能成为一个悬而未决的猜想。】

徐辰的眼中，燃起了一丝挑战的火焰。

他铺开一张稿纸，开始了对这座未知高峰的攀登。

【第一步，尝试小数据和特殊情况。】

n=2:4/2=2。1/1 1/2 1/2。有解。

n=3:4/3=1/1 1/6 1/6。有解。

n=4:4/4=1。1/2 1/3 1/6。有解。

n=5:4/5=1/2 1/4 1/20。有解。

【看起来，解总是存在的。那麽，证明的关键，在于构造。】

他没有急于下结论，而是开始思考问题的核心。

【4/n=1/x 1/y 1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关系。】

【思路的核心，应该是根据n的性质，来构造出对应的x，y，z。】

突然，一道灵光闪过！

【是n的同馀性质！特别是模4的馀数！】

一个在解决丢番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。

【任何整数n，根据模4的馀数，都可以被分为四类：4k，4k 1，4k 2，4k 3。】

【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那麽问题不就解决了吗？！】

徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生产所有零件的「模具」！

【第一种情况：n=4k。】

【4/n=4/(4k)=1/k。】

【1/k=1/(2k) 1/(3k) 1/(6k)。】

【所以，x=2k，y=3k，z=6k。搞定！这一类最简单。】

【第二种情况：n=4k 2=2(2k 1)。】

【4/n=4/(2(2k 1))=2/(2k 1)。】

【2/(2k 1)=1/(2k 1) 1/(2k 1)。还差一个……】

【1/(2k 1)=1/(2k 2) 1/((2k 1)(2k 2))。】

【所以，4/n=1/(2k 1) 1/(2k 2) 1/((2k 1)(2k 2))。】

【令x=2k 1，y=2k 2，z=(2k 1)(2k 2)。搞定！】

逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻松解决。

但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。

【第三种情况：n=4k 3。】

他尝试了各种恒等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现k，导致解的普适性被破坏。

【这条路，走不通。或者说，简单的恒等变换，在这里失效了。】

他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的丶找不到任何着力点的绝壁。

他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。

【如果，从另一个角度看呢？】

【4/n=(4(k 1))/(n(k 1))=(4k 4)/(n(k 1))=(n 1)/(n(k 1))。】

【4/n=1/(k 1) 1/(n(k 1))。】

【这个恒等式，是解决问题的关键！由Mordell在1969年提出！】

一个在数论历史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！

【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】

思路，瞬间豁然开朗！

他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。

他不再纠结于自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！

【对于n=4k 3的情况：】

【利用恒等式4/n=1/((n 1)/4) 1/(n(n 1)/4)。】

【因为n=4k 3，所以n 1=4k 4=4(k 1)。】

【(n 1)/4=k 1，是整数！所以1/((n 1)/4)是一个单位分数！】

【令x=(n 1)/4。】

【现在，只需要将1/(n(n 1)/4)分解成两个单位分数之和。】

【1/A=1/(A 1) 1/(A(A 1))。这是一个经典的分解！】

【所以，x=(n 1)/4，y=n(n 1)/4 1，z=(n(n 1)/4)*(n(n 1)/4 1)。】

【搞定！第三种情况，解决！】

只剩下最后，也是最难的一种情况：n=4k 1。

他用同样的方法，将问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。

【我到底忽略了什麽……】

他看着窗外城市的点点灯火，大脑放空。

突然，他想起了自己最初的验算。

n=5:4/5=1/2 1/4 1/20。

【这里的x，y，z之间，有什麽关系？】

【如果，我能找到一个关于n的线性同馀方程组，它的解，恰好能导出x，y，z呢？】

【中国剩馀定理！】

一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！

他猛地冲回桌前，心脏狂跳。

他不再试图去「构造」一个通用的公式，而是去「证明」一个解的存在性！

【对于n=4k 1的情况，我们可以找到一个整数t，使得t*n 1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】

【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数a，b，使得an 1=4b。】

【根据裴蜀定理，只要gcd(n，4)=gcd(4k 1，4)=1，这样的a，b就必然存在！】

【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组a，b。】

【然后，4/n=4a/(an)=4a/(4b-1)……这条路似乎更复杂了。】

他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。

【回归方程本身：4xyz=n(xy yz zx)。】

【如果我能找到一个特殊的x，让这个方程简化呢？】

【设x=k*n。代入后……不行。】

【设x=(n a)/4。】

一个大胆的设想，在他脑中形成。

经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩馀的性质，他最终将问题，锁定在了一个特定的同馀方程上！

【……最终，可以证明，对于所有素数n≡1(mod4)，总能找到满足条件的解。而对于合数，可以通过其素因子分解来构造解。】

当最后一个句号落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的丶酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。

这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！

他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。

窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正将第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。

天，已经亮了。