学霸的征途是星辰大海 第9章 通往大学的高速公路

徐辰也没有多问，平静地拉过一张椅子，在陈嘉平的办公桌对面坐下，拧开笔帽，开始思考。

第一题：【求所有的素数p和正整数n，使得n2 p-1整除n3 p3。】

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典型的整除与不定方程结合。常规思路是利用同馀性质，模p或者模n进行试探，又或者试图通过假设p的奇偶性来分类讨论。

但这两种方法犹如盲人摸象，不仅计算量庞大，而且极易陷入死胡同。

徐辰的笔尖在草稿纸上悬停了半秒，大脑已经开始了高速运转。

问题的核心，在于左边的二次式n2和右边的三次式n3阶数不匹配，且n与p纠缠不清。想要建立整除关系，必须想办法「降次」并「剥离变量」。

徐辰思考着：直接做多项式除法吗？会产生分式，不够优雅。那就……主动构造一个中间项，把n3强行消掉！

这个念头如同一道闪电，数学天赋带给他超强的解题直觉！

他落笔了。

陈嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰没有像普通竞赛生那样去穷举p=2,3,5，而是直接在草稿纸上写下了一行让他瞳孔骤缩的算式：

n(n2 p-1)=n3 np-n

陈嘉平眉头紧锁，构造这个有什麽用？

紧接着，徐辰写下了堪称「神之一手」的变形！

(n3 p3)-n(n2 p-1)=p3-n(p-1)

看到这一步，陈嘉平的呼吸瞬间停滞了！

他明白了！他彻底明白了！

因为n2 p-1整除n3 p3，而它显然也整除n倍的自己。两式相减，原先复杂的整除关系，瞬间坍缩成了：

n2 p-1│p3-n(p-1)

这一刀，直接切断了n的高次项干扰，将一个混沌的三次方程，降维打击成了一个关于p的约束分析！

一个CMO级别的难题，被这匪夷所思的一步，直接简化成了纯粹的代数讨论！

徐辰的手速没有丝毫减慢。

「若右边为0，则p3=n(p-1)。因p为质数，gcd(p,p-1)=1，故p-1=1，得p=2,n=8。」

「若右边不为0，利用绝对值不等式放缩……」

草稿纸上沙沙作响，另外两组解(3,1)和(3,4)如同瓮中之鳖，被精准地抓了出来。

徐辰从落笔到写完三组答案，全程不到三分钟。他没有用任何晦涩的数论定理，仅仅用了一步极其精准的代数构造，就将这道国家集训队难度的「拦路虎」斩于马下！

陈嘉平感觉自己的后背已经渗出了冷汗。

徐辰的天赋比他想像的还要夸张！

……

第二题：【设a，b，c为正实数，求(a b c)(1/a 1/b 1/c)的最小值。】

一道看似人畜无害，实则暗藏杀机的不等式题。

此刻徐辰的内心：哦？这个有意思了。出题人在这里挖了一个巨大的陷阱，专门坑那些只会死记硬背公式的学生。

这个陷阱就是，很多学生会想当然地分别使用均值不等式：a b c≥3?(abc)1/a 1/b 1/c≥3?(1/abc)然后将两式相乘，得到原式≥9。

看似没错，但乘法是有风险的。这种做法的漏洞在于，它默认了两个不等式可以同时取等。虽然这道题恰好可以，但这种解法在逻辑上是不严谨的。

徐辰想的没错，实际上这种做法在竞赛中会被扣分甚至判零分。

徐辰当然不屑于走这种钢丝。

他同样也懒得用竞赛生必备的「柯西-施瓦茨不等式」，那就像用一把精密的钥匙开锁，虽然高效，但不够「暴力」，不够「美」。

他选择了最原始，也最能体现问题本质的方法——展开！

大道至简，返璞归真！

他直接将原式展开：

原式=1 a/b a/c b/a 1 b/c c/a c/b 1

=3 (a/b b/a) (a/c c/a) (b/c c/b)

看到这一步，陈嘉平的眼睛都直了！他本以为这是最笨拙的「土办法」，但接下来的一幕，让他彻底颠覆了认知。

只见徐辰在括号下轻轻标注：根据基本不等式x 1/x≥2(当x＞0)

所以：

a/b b/a≥2

a/c c/a≥2

b/c c/b≥2

三式相加，原式≥3 2 2 2=9。

若且唯若a=b=c时，所有等号成立。

最小值，9！

这个解法，没有使用任何高级不等式，仅仅是将初中学习的「完全展开」和高中最基础的「均值不等式」结合起来，却展现出了一种化繁为简丶直捣黄龙的宗师气度！

如果说第一题是「神之一手」的灵感爆发，那这一题就是「大道至简」的绝对掌控！

……

……

……

站在一旁的陈嘉平，看着徐辰答题，心脏狂跳，呼吸都变得急促起来。因为他比任何人都清楚，这份试卷的来历！

这是去年全国高中数学竞赛（CMO）的真题卷！是用来筛选国家集训队队员的试卷！

安城三中，一所连市重点都算不上的普通高中，历史上最好的竞赛成绩，也不过是一个前辈拿到的省一等奖，但那也是八年前了，最近几年最多也只有省二等奖。

而现在，他亲眼看着自己的学生，一个从未接受过任何竞赛训练的学生，用一种近乎「野蛮」的方式，在暴力地丶不讲道理地……解答这份试卷！

徐辰的解法，在真正的竞赛选手看来，或许会显得「笨拙」丶「不够优美」。

但在陈嘉平这个资深教师眼中，这恰恰是最恐怖的地方！

这说明，徐辰的天赋，已经强大到可以无视所谓的「技巧」和「套路」！他是在用最纯粹的数学逻辑和计算能力，对题目进行降维打击！

「天才……真正的天才！」陈嘉平喃喃自语，激动得脸颊涨红，「我教了这麽多年书，从没见过这样的学生！」

他猛地抬起头，目光灼灼地盯着徐辰，声音因为激动而变得嘶哑：

「徐辰！去参加数学竞赛吧！」

「老师，我还没做完呢？」

「不必做下去了，你的实力绝对够了。明天就是全市数学竞赛报名截止的最后一天！我们必须抓住这个机会！」

徐辰却皱起了眉头，心想：系统的主线任务是「踏入世界顶尖大学的殿堂」。参加竞赛的话其他科目就没时间复习了，有可能反而得不偿失。

他现在只想安安静静地刷系统积分，把所有科目都提升上来，竞赛这种「偏科」的活动，似乎并不在他的规划之内。

于是说：「这会不会很花时间，我怕耽误学习其他科目的时间。」

「耽误时间？」

陈嘉平听到这话，差点一口气没上来。他深吸一口气，用一种前所未有的郑重语气，一字一句地说道：

「徐辰，你听好！对你这样的天才来说，数学竞赛，是另一条通往大学的……高速公路！」

「只要你能拿到省一等奖，就有资格申请清华丶北大的强基计划！高考分数线都能给你降几十分！」

「如果你能更进一步，杀进全省前几名，入选省队，代表我们省去参加全国决赛……前60名，甚至可以直接保送清华北大！不用参加高考！」

保送清华北大！

这六个字，如同九天惊雷，在徐辰的脑海中轰然炸响！

陈嘉平看着他震惊的表情，继续加码：「以我们学校的底子，冲击国家集训队太遥远。我的目标是，让你拿个省二，甚至冲一冲省一！即便如此，那也是你简历上最光彩夺目的一笔！」

他顿了顿，语气也变得严肃起来：「当然，风险也有。如果你投入了大量时间，最后却没拿到理想的名次，那浪费的时间，就只能靠你自己追回来。这条路，是天才的捷径，也是凡人的陷阱。」

办公室里，再次陷入了寂静。

徐辰的心，却以前所未有的速度跳动起来：

系统任务……最优异的姿态……结束乏味的高中生活……

他瞬间想通了！

高考，是一条稳妥的路，但需要按部就班地熬到高三。

而竞赛，是一场豪赌！

赌赢了，高二就能提前锁定顶尖大学的门票，大大缩短任务时间，获得的系统评价也必然更高！

而他最大的底牌，就是经过7天数学lv1体验卡强化时间学习到的强大数学基础，配合目前数学lv0的优秀大学生的天赋！

这条路，简直是为他量身定做的！

想到这里，徐辰的眼神变得无比坚定。

他抬起头，迎着陈嘉平那充满期盼的目光，郑重地说道：

「老师，我明白了。我愿意参加，不过，这麽大的事，我还是想……先和家里人商量一下。」

徐辰话音刚落，陈嘉平激动得猛地一拍大腿。

「好！就这麽定了！」