1978：从婴儿开始增加智商 第一百零五章 十八进六

第105章十八进六

「行。」他说。

然后他挎着行李袋走出了宿舍。

走廊里他的脚步声一步一步地远去，经过水房，经过活动室，经过那个贴着为国争光勇攀高峰横幅的活动室门口，然后下了楼梯，消失了。

陆沉拿着那本数论杂记回到自己宿舍。

陈志远正坐在床上看吉米多维奇，看到陆沉手里的笔记本，问是什么。

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陆沉递给他。

陈志远翻了几页，表情从好奇变成了郑重。

他翻到周尧用图论方法证明二次剩余的那一页，看了很久。

「这个人。」陈志远说，「应该留下的。」

陆沉没有接话。

他们都知道，应该留下和留下了之间，有时候隔着的东西叫运气，叫临场发挥，叫一次错误的方向选择。

竞赛是残酷的，但竞赛的残酷恰恰是它公平的一部分—它不问你平时想了多少，它只问你在那四个小时里写出了什么。

那天晚上，活动室里的横幅下面多了一样东西。

不知道是谁放的—一本空白的笔记本，封面朝上摊开在电视机旁边的桌子上。

封面上用钢笔写着一行字：「给离开的人写点什么吧。」

陆沉走过去的时候，笔记本上已经有了几行字。

第一行是顾小北写的：「周尧，你的图论方法我没全看懂，但看懂的部分让我起了一身鸡皮疙瘩。别放弃。」

第二行是王雪松写的：「方磊，你那次在走廊里跟我讨论的矩阵特徵值估计，我后来想通了。答案是你说的那种情况。保重。」

陆沉拿起笔，翻到新的一页。

「周尧：二次剩余的那个图论构造，我会继续做下去，论文见。」

他写得很短。

不是因为无话可说，是因为他知道，对于一个真正在意数学的人，最重的承诺不是我会想你，是你留下的工作，我会接着做。

他合上笔记本的时候，发现何巍站在他身后。

何巍没有说话，接过笔，翻开本子，在新的一页上写了很久。

写完之后他把笔还给陆沉，转身走了。

陆沉低头看何巍写的那一页。

上面只有一段话，字迹用力很深，笔画像刀刻的。

「周尧，你第二轮那道题，我在考场上也差点往代数数论的方向走，如果我走了，今天收拾行李的可能是我，你的笔记本我借来看过，那个图论证明让我想了整整一个晚上。

你不是因为不够强才离开的。

你只是运气不好。但运气不好这件事本身，已经够不公平了，所以我会连你的份一起往前走。这不是漂亮话，这是欠你的。」

陆沉把笔记本放回桌上。

三月的夜风从窗户缝里钻进来，掀动笔记本的纸页，一页一页地翻过去，上面那些或长或短的留言一行一行地闪过，像一群人在对着一个已经走远的人说话，明知道他听不见，但还是说了。

第二天一早，离开的九个人在招待所门口集合。

他们背着来时的行李，穿着来时的衣服，站在灰蒙蒙的晨光里。

留下来的人站在台阶上送他们。

没有人哭，也没有人说什么煽情的话。

集训队不兴这个。

方宜民帮他们把行李搬上一辆租来的面包车。

周尧最后一个上车，上车之前他回过头，看了一眼招待所那扇绿色的木门，看了一眼门上方那块招待所三个字的铁皮牌子，看了一眼院子里那棵光秀秃的槐树。

他的目光最后落在台阶上的人群里，和陆沉对了一瞬。

周尧点了一下头。

陆沉也点了一下。

面包车发动了，排气管喷出一股白烟，拐出招待所的院子，驶进了B清晨的车流里。

十八个人留了下来。

第二天的训练照常进行。

彭老师继续讲组合数学，讲到拉姆齐数的上界估计时，他在黑板上写下了一个着名的不等式：R（s，t）≤C（s t—2，s—1）。

写完之后他转过身，看着下面明显比上周稀疏的座位。

「这个不等式是埃尔德什和塞凯赖什在1935年证明的。用了抽屉原理和归纳法。证明本身不难，但它的美妙之处在于一它把一个看起来完全不可能计算的东西，用一个简洁的组合数表达式框出了上界。」

他开始推导这个不等式的证明。

推导到一半的时候，他忽然停下来。

「你们知道埃尔德什证明这个不等式的时候多大吗？」

没有人回答。

「二十二岁。」彭老师说，「而且这个证明是他和塞凯赖什一起在布达佩斯的一个公园里，一边散步一边想出来的。证明完成的时候，他们坐在公园的长椅上，埃尔德什说了一句话。他说一上帝有一本无限的书，里面写着所有定理的最美证明。我们的工作，就是去猜那本书里写了什么。」

教室里很安静。

彭老师把粉笔放下，拍了拍手上的粉笔灰。

「我跟你们讲这个，不是让你们去当埃尔德什。是让你们记住：数学竞赛和数学研究，用的是同一本书。你们现在做的每一道题，每一个证明，都是在试着去猜那本书里写了什么。竞赛会结束，排名会消失，国家队的名额只有六个。但那本书一直在那里。不管你们最后是留下了还是离开了，那本书都不会消失。」

他重新拿起粉笔，继续推导那个不等式。

下课以后，陆沉在走廊里被王雪松叫住了。

王雪松手里拿着一个笔记本，翻到某一页，上面画着一张图图的顶点是集训队留下来的人的名字，边代表两人之间有过学术交流。

「我画了一个合作网络。」王雪松说，「周尧走了以后，他原来连接的那几个节点一你，何巍，还有我——之间的边的权重应该重新分配。」

陆沉看着那张图。

王雪松把学术交流当作一个图论问题来建模：节点代表人，边代表交流，边的权重代表交流的深度和频次。

周尧那个节点被删除之后，原来与他相连的边变成了悬空边，需要重新连接到其他节点上，否则信息流就会中断。

「你把周尧留下来的问题接过去了。」王雪松指着图上陆沉和周尧之间的那条边，「这条边现在不能断，他的图论方法丶他的数论笔记，这些东西不能跟着他一起离开集训队。它们得留下来，继续往前走。」

陆沉看着王雪松。

这个上海来的少年，用一种近乎冷酷的图论模型，把一件本应充满情感的事情变得清晰而具体。

但陆沉知道，这种冷酷恰恰是王雪松表达在意的方式。

他把周尧的离开看作网络中一个节点的丢失，而节点丢失后最不应该发生的事情，是那个节点曾经承载的信息也跟着丢失。

「你打算怎么重新分配？」陆沉问。

王雪松用笔在图上画了几条新的虚线。

「周尧原来跟我讨论过矩阵特徵值估计，那条线我接，他跟你讨论过图论方法证明数论问题，那条线你接。他跟何巍讨论过群表示论在组合中的应用，那条线何巍接。」

他在图的下方写了一行字：「节点可删除，信息不可删除。」

陆沉看着那行字，然后从自己的便签本里撕下一页，画了一个更简单的图：三个圈，分别代表他丶王雪松丶何巍，三个圈之间有边相连。

然后在三个圈的中间，他画了一个虚线画成的圈，里面写着周尧的名字。

「节点没有被删除。」他说，「只是变成隐节点了。」

王雪松看着那张图，沉默了几秒，然后从他笔记本上撕下自己画的那张，把两张并排放在一起。

「你的版本更好。」他说。

三月中旬，第二轮集训的节奏明显加快了。

留下来的十八个人被分成了三个小组，每组六人，以小组为单位进行专题研讨和模拟对抗。

分组的方式很特别——不是按排名分，是把不同风格的人打散混编。

陆沉所在的第一组有他丶顾小北丶一个叫宋知行的湖南男生丶两个来自江苏的男生丶

还有一个叫方磊的辽宁男生。

第一次小组研讨的题目是何巍出的——不对，是彭老师出的，但彭老师把出题权交给了上次综合测评总分第一的人。

何巍总分第一，他出了一道组合几何题。

题目发下来的时候，整个小组沉默了至少五分钟。

不是题太难。

是题太何巍了。

题目要求证明一个关于平面点集与直线划分的命题，题干只有三行，但条件之间互相关联的方式极其复杂，像一个被打乱了的魔方你知道它有一个漂亮的解，但在找到那个关键的面之前，它就是一个混乱的整体。

顾小北第一个开口。

「这道题，何巍自己做了多久？」

彭老师在旁边说：「他出完题以后，我问他同样的问题。他说他从产生想法到完成证明用了两天。」

小组里又沉默了。

宋知行推了推眼镜，说：「那我们开始吧。」

六个人围坐在活动室的长桌边，各自摊开草稿纸。

陆沉把题目抄在便签本上，然后开始拆解。

这道题的条件可以分为三层：第一层是点集的几何约束，第二层是直线划分的拓扑性质，第三层是两者之间的映射关系。

何巍的厉害之处在于他把这三层编织得非常紧密—你不能单独处理其中一层然后跳到下一层，必须三层同时推进。

陆沉在便签本上画了一个三层结构图，每一层标注了核心条件和可用的工具。

几何层：凸包丶分割线丶对偶变换。

拓扑层：区域数丶欧拉示性数丶连通性。

映射层：从点集到直线族的对应法则。

他画完这张图的时候，旁边的方磊凑过来看了一眼。

「你把何巍的魔方拆开了。」

「拆开只是第一步。」陆沉说，「还得装回去。」

六个人花了整整一个下午。

宋知行在几何层找到了一个突破口一点集可以先用凸包分层，然后逐层处理。

顾小北在拓扑层接住了这个突破口，用欧拉公式给出了区域数的递推关系。

方磊和另外两个江苏男生在映射层把前两层的结论耦合起来，建立了一个从点集到直线族的显式映射。

陆沉在三条线之间来回游走。

哪里卡住了他就去哪里，不是给出答案，是问问题—如果凸包分层遇到共线点怎么办丶递推的初始条件是否对所有凸包层都成立丶显式映射是否保持了点集原有的顺序约束。

他不负责解决具体问题，他负责确保六个人在同一个逻辑框架里工作，而不是各自朝不同方向跑。

天黑的时候，顾小北把最后一步递推关系的边界条件验证完毕，放下笔，长长地呼了一口气。

「成了。」她说。

六个人看着桌上摊开的几十张草稿纸—每一张上都写满了推导丶画满了图丶标注了各种箭头和编号。

这些纸如果叠起来大概有一指厚。

而何巍一个人用两天时间，从零到一，走完了这条路。

方磊靠在椅背上，看着天花板。

「我现在知道何巍为什么每次考试都写那么长了。」

「因为他脑子里就是这么一个一个魔方拆开又装回去的。」宋知行接道。

彭老师走过来，把六个人的草稿纸大致翻了一遍。

他没有点评具体步骤，只是说：「明天上午，你们组把这个证明讲给其他两组听。主讲人你们自己定。」

六个人互相看了看。

顾小北说：「陆沉讲。」

陆沉没有推辞。

第二天上午，陆沉站在活动室的黑板前面，把六个人昨天搭建的证明从头到尾讲了一遍。

他讲得很慢，不是因为紧张，是因为他知道这个证明的逻辑链条比表面上看起来要深，每一步都需要给听众留出消化时间。

讲到最后一步递推关系收口的时候，他转过身，在黑板上画了那个三层结构图。

「这道题的本质，是把一个几何问题提升到拓扑层面，然后在映射层完成闭环。何巍出题的时候，把这三层编织成了一个整体。我们小组昨天的解法，是把这三层先拆开丶分别攻克丶再组装回去。」

他停顿了一下。

「拆开是为了看清结构，组装回去是为了完成证明，两舌能力，缺一不可。」

讲完之后，何巍从第二组的座位上站起来。

他没有鼓掌，只是走到黑板前面，指着陆沉画的那张三层结构从，问了一个问题：「映射层那条从点集到直仕族的显式映射，你们用的是坐标排序法。如果点集不满足一般位置条件——有共仕或者共圆的情丸——这个映射还成立吗？」

陆沉看向方磊。

方磊站起来说：「不成立。我们昨天讨论的时候发现了这个问题。如果点集不满足一般位置条件，显式映射永要加一个微扰步骤，把退化情丸破开。微扰的幅度可以任意小，不影响最终的不等式估计。但我们写证明的时候为了简洁，假设了一般位置。」

何巍点了点头，坐下了。

他没有说对或者好。

但他的问题本身就是在说：我听懂了，我看到了你们证明里最脆弱的那个环节，搁你们的回答让我确认，你们也看到了。

三月下旬，第二次综合测评。

这一次的题目只有两道。

每道十分，总分二十。

时间仍然是四个小时。

第一道是代数数论，关于二次域欠素理想分解的一个问题。

陆沉读完题就知道，这道题和周尧笔记里那个用论方法处理二次剩余的思路有关不是直接套用，但业层结构是通的。

他用传统方法完成了证明，然后在证明的末尾加了一个附注，指出这道题的结论可以与从论方法建立一个同构对应，并简要描述了对应的构造方式。

第二道是组合数学，关于拉姆齐数下界估计的一个构造性问题。

这道题的核心是用概率方法证明存在性埃尔德什1947年的经典工作。

陆沉用概率方法给出了存在性证明，然后在此基础上多走了一步：他构造了一个显式的从族，使得拉姆齐数的下界估计从存在性变成了构造性。

这一步不是题目要丫的，但他写了。

写完之后他检查了一遍，确认构造的每一个环节都严密。

交卷的时候，他把周尧那本数论杂记从书包里拿出来，放在桌上。

不是为了看，里面的内容他已经全部记在脑子里了。

是一舌仪式。

第二次综合测评的成在三天后公布。

陆沉二十分，满分。

第一道题传统证明满分，附注的从论对应关系被极卷老师批了一行字：「思路有价值，可单独成文。」

第二道题概率证明满分，显式构造被单独加了五分附加分。

总分二十五分，超过满分。

何巍十开分，第一道题满分，第二道题扣了一分他的构造方法在切界条件上有一个微小漏洞。

顾小北十开分。

王雪亥十八分。

宋知行十八分。

方磊十七分。

陈志远十五分。

三月就要过去了。

四月，第三轮名次公布，然后是最终的选拔。

六个人的名额，十八个人争。

外国的那篇文章是在一个星铁三的早晨抵达集训队的。

陈志远读完标题，脸色就变了。