1978：从婴儿开始增加智商 第八十八章：图兰定理

晚餐是在基地的食堂，简单的四菜一汤。

吃饭时，他们看到了另一群穿着深色外套丶身材普遍比中国少年高大壮实丶有着典型斯拉夫人面孔的男孩，在几位同样严肃的成年人带领下，坐在食堂的另一侧用餐。

双方隔着几张空桌子，没有交流，只是偶尔投来打量和探究的目光。

空气里弥漫着一种无声的丶混合着好奇与竞争的紧张感。

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「那就是苏联队的？」吴磊压低声音，朝那边努了努嘴，「看着挺壮的，不像搞数学的，倒像练摔跤的。」

「人不可貌相。」林枫低声说，「他们的数学教育体系很厉害，基础非常扎实，尤其几何和数论。」

陆沉安静地吃着饭，目光快速扫过那边。

他注意到，苏联少年们用餐时也很安静，举止有度，偶尔低声交谈，眼神锐利。

他们中似乎也有年龄特别小的，但看起来至少也有十三四岁。

相比之下，自己这边确实显得小巧许多。

饭后，双方教练进行了简短的会面。

秦总教练回来后，召集队员们开了个短会。

「对方来了十个人，年龄在十四到十七岁之间，是他们的国家预备队成员，也是明年IMO的有力竞争者。」秦总教练语气凝重，「领队是莫斯科大学的知名教授伊万诺夫，以几何和组合见长。这次对抗赛，对我们双方都至关重要，是骡子是马，拉出来溜溜。

今晚好好休息，养精蓄锐。记住，平常心，发挥出自己的水平就行。但同时，也要拿出我们中国队的精气神！」

这一夜，陆沉睡得不很踏实。

房间很冷，被子单薄，更重要的是，对未知对手的隐隐期待和一丝压力，让他思绪纷杂。

他想起看过的那些苏联数学资料，想起王研究员曾提过苏联在理论计算机和基础数学方面的深厚底蕴，也想起临行前张老师在电话里的叮嘱：「就当是去见识一下世界级的同龄人是什么水平，输了不丢人，赢了是惊喜。」

第二天清晨，雪停了，但天色依旧阴沉。

对抗赛在基地一间宽敞的会议室举行。

会议室中央摆着两排相对的长条桌，每边十个座位，桌上放着统一的文具和草稿纸。

前方黑板旁，中苏双方的几位主要教练并排坐着，神情严肃。

气氛庄重得如同正式的外交场合。

中国队员穿着统一的深蓝色运动服，苏联队员则穿着灰色的夹克或毛衣，依次入场，按照事先抽签的座位号坐下。

陆沉的座位在中间靠前，对面恰好坐着一个棕色卷发丶脸上有几颗雀斑丶看起来大约十四五岁的苏联男孩。

男孩坐下后，好奇地看了陆沉一眼，似乎对他的年龄和身材有些惊讶，但很快收回目光，正襟危坐。

伊万诺夫教授和秦总教练分别用俄语和中文简短致辞，强调了友谊和交流，随即宣布比赛开始。

试卷被分发下来，是俄文和中文并列的。

题目只有三道，但纸张很厚。

陆沉深吸一口气，摒弃杂念，看向第一题。

是一道几何题。

题目描述了一个复杂的圆和四边形结构，需要证明某个角度是固定值。

图形看似熟悉，但条件组合很奇特。

他先在草稿纸上画出精确的草图，标注已知。

苏联的几何题果然名不虚传，对图形直觉和添加辅助线的技巧要求极高。

他尝试了几条常规辅助线，效果不大。

时间一分一秒过去，他强迫自己冷静，重新审视图形中的对称性和隐藏的等量关系。

忽然，他注意到图形中隐含着一个调和点列的性质，如果连接某两条看起来无关的线段……他迅速在草稿纸上验证，思路豁然开朗！

关键的辅助线浮现出来，之后的证明虽然步骤不少，但逻辑顺畅。

他舒了口气，开始工整地书写解答。

用眼角余光瞥去，对面的苏联男孩也在专注作图，眉头微锁。

周围一片寂静，只有笔尖划过纸张和偶尔翻动草稿的沙沙声。

第二题是数论。

关于丢番图方程整数解的存在性问题，涉及模运算和二次剩余理论，形式很苏联——抽象，深刻，需要从代数结构的高度去把握。

陆沉对这类问题并不陌生，国家队训练中重点强化过。

他尝试用中国剩余定理将问题分解，再结合二次互反律处理模素数幂的情况。

推导过程需要极强的细心和逻辑严密性，他写得很慢，很稳，确保每一步都站得住脚。

第三题是组合极值。

题目描述了一个关于图着色和禁用子图的最大边数问题，背景带有明显的图论色彩。

这恰恰是陆沉的强项。

他立刻联想到自己用计算机模拟过的一些图论模型，以及王研究员资料中提到的极值图论概念。

他没有急于下笔，而是先用几分钟在脑海中构建了几个极端的例子，试图逼近可能的极值结构。

他发现，这个问题可以转化为寻找某种特定图的最小禁止子图，然后利用图兰定理的推广形式给出上界，再构造一个达到该上界的极图。

思路清晰后，他迅速列出关键引理和构造步骤。

三道题做完，距离结束还有半小时。

他仔细检查了每一步，特别是数论题中那些繁琐的模运算。

确认无误后，他放下了笔。

环顾四周，大部分队员还在奋笔疾书，表情或专注，或凝重。

对面的苏联男孩也刚刚停笔，正在检查，抬头时恰好与陆沉目光相遇。

男孩眼中闪过一丝惊讶，似乎没料到陆沉这么快就完成了。

交卷铃响。

队员们如释重负，气氛稍微松弛。

双方教练立刻收走试卷，送到隔壁房间由双方共同批阅。

队员们则在引导下，来到旁边的休息室，提供简单的茶点。

起初，休息室里很安静，双方各自坐在一边，几乎没有交流。

只有偶尔的俄语或中文低语。

吴磊捅了捅陆沉，小声说：「沉子，你做得咋样？最后那道组合题，我构造了半天，总觉得差点意思。」

「我还好。那道题可以往图兰定理那边想。」陆沉简单说了下思路。

「图兰定理……对哦！」吴磊恍然大悟，随即懊恼地拍了拍脑袋，「我怎么没想到！」

这时，对面的苏联队员中，一个戴眼镜的高个子男生，用略带口音但很清晰的中文主动开口了：「你们好。我是谢尔盖。刚才的题目，你们觉得怎么样？」

休息室里一下子安静了。

中国队员们都看向那个叫谢尔盖的男生。

秦总教练之前提过，苏联队里有几个队员学过中文。

林枫用英语回答（他的英语不错）：「题目很有水平，尤其是几何和数论，很考验基本功和洞察力。」

谢尔盖点点头，目光扫过中国队员，最后落在了陆沉身上，眼中带着好奇：「这位同学，你似乎完成得很快。最后那道组合题，你用了图论的方法？」

陆沉没想到对方会注意到自己，而且直接问到了核心。

他点点头，用英语回答，语速平缓：「是的。那道题可以转化为寻找禁用子图的最小尺寸，然后用极值图论的结论。」

「极值图论……」谢尔盖重复了一遍，眼中露出思索，随即转向身边一位看起来年纪更小的队员，用俄语快速说了几句。

那个小队员，正是坐在陆沉对面的雀斑男孩，他听了之后，看向陆沉的眼神更加惊讶，也用带着浓重口音的英语问：「你，年龄，很小？」

「十岁。」陆沉坦然回答。