愛因斯坦 愛因斯坦一百二十一熱輻射傅裡葉系數獨立證明一十.八

1910年8月29日《物理學年鑒》收到了愛因斯坦和路德維希·霍普夫(Ludwig Hopf，1884年-1939年)合著的論文《論一條幾率計算定理及其在輻射理論中的應用》。

這篇論文證明了熱輻射傅裡葉級數各個系數是獨立的，從而消除了人們把暗含黑體輻射紫外災變的瑞利-金斯公式的失敗歸結為熱輻射傅裡葉級數各個系數獨立的假設上，通過這篇論文愛因斯坦和霍普夫說明瑞利-金斯公式的失敗不能歸結為熱輻射傅裡葉級數各個系數獨立的假設，事實上熱輻射傅裡葉級數各個系數事實上就是獨立的。

當然，瑞利-金斯公式失敗的根源是能量均分定理，其認為每個振動自由度的平均能量為kT，這隱含的是能量的連續性，普朗克輻射公式暗含的則是能量的量子化，具體的分析可參見愛因斯坦的論文:

1906年3月13日的論文《關於光產生和光吸收的理論》(本作《愛因斯坦56-60》);

1906年11月9日的論文《普朗克的輻射理論和比熱容理論》(本作《愛因斯坦67-69》);

1910年5月7日的論文《論光量子理論和電磁能的定域化問題》(本作《愛因斯坦117》)。

現在這篇論述熱輻射傅裡葉級數系數的論文《論一條幾率計算定理及其在輻射理論中的應用》共分4節，第1節題為《作為出發點的物理問題》，這一節首先列出了針對某個給定空間點電磁力的傅裡葉級數解析表達式方程1:

Σ(n)[An·sin2πn(t/T) Bn·cos2πn(t/T)]

其中，t是變化的時間，T是應用傅裡葉級數那一段很長的時間階段。

在輻射理論中計算任何平均值時人們假定個體的系數An和Bn是相互獨立的，每一個系數都符從高斯誤差定律，而與其他系數的數值無關，因此，各An和Bn值的一個組合的幾率dW必然簡單地就是各單個系數的幾率之積，即為方程2:

dW=WA1·WA2…WB1·WB2…dA1…dB1…

對於幾率dW，愛因斯坦和路德維希·霍普夫在論文中還給了一個定義:

“一個級數位於指定的數值范圍之內的那些展式所佔的分數，就是該系數之該范圍的幾率。”

面對輻射理論與實驗和經驗的矛盾，即瑞利-金斯公式紫外災變和維恩公式紅外災變，很多人認為問題就出在傅裡葉級數系數An和Bn是相互獨立的假設，本文的目的則是證明這種說法是錯誤的，系數An和Bn事實上就是獨立的，理論與實驗的矛盾不在系數獨立假設這裡:

“在根據普遍被接受的電磁學及統計力學的基礎所精確推出的形式下，眾所周知，輻射理論導致了無法解決的和經驗的抵觸;既然如此，不相信這種簡單的獨立性假設而認為它造成了輻射理論的失敗，就是很自然的了。

我們在下文中即將證明，這樣的解決辦法是不可能的，而且正好相反，物理問題可以歸結為一個數學問題，而這個數學問題就引向統計定律(方程2)。”

接下來就進入了論文的正面闡述部分，首先，從某一方向射來的一種輻射肯定比作用在一點上的總輻射具有更高程度的有序性。

其次，某一方向的輻射還可以繼續分解成更小的輻射元，而論文便是在這種更小輻射元的嚴格基礎上證明系數An和Bn事實上的獨立性:

“但是，從一個特定方向射來的輻射永遠可以設想為起源於許許多多的發射中心;也就是說，發射輻射的表面可以分成很多面積元，它們互相獨立地發射。因為，既然從這一曲面到試驗點的距離並沒有限制，總的尺寸也就沒有限制。

在這些由各面積元引起的輻射元中，我們再引入一個更高的有序原理，那就是，我們設想所有這些輻射元都具有相同的形式，其差別只在於它們的時間周相。或者，用數學名詞來說，表示著由各面積元所引起的輻射的傅裡葉級數的系數應該對一切面積元都相同，而只有初時刻才是隨面積元而異的。

如果方程2可以在這種有序原理的基礎上被證明，則它在這一原理被棄去的事例中更將成立。”

上述這段闡述的意思就是輻射元是有序、不獨立的，但論文將證明在這種輻射元有序、不獨立的前提下，系數An和Bn事實上依然是獨立性的。

在上述條件下設定，單個面積元s的輻射形式為方程3:

Σ(n)an·sin2πn·(t-ts)/T

所有面積元的總輻射形式為方程4:

Σ(s)Σ(n)[an·sin2πn·(t/T)·cos2πn·(ts/T)-cos2πn(t/T)·sin2πn·(ts/T)]

對比方程1和方程4，則熱輻射傅裡葉級數系數An和Bn為方程5:

An=an·Σ(s)cos2πn·(ts/T)

Bn=an·Σ(n)sin2πn·(ts/T)

就著方程5，愛因斯坦和路德維希·霍普夫再次闡述了論文的創作目的:

“式中n是一個很大的數，而ts可取從0到T之間的任意值，從而個體的被加式

cos2πn·(ts/T)和sin2πn·(ts/T)

就無規地分布在-1和 1之間，而且為正和為負的可能性相同。如果我們能夠針對這種量的總和的一個組合證明我們方程(2)的普遍成立，我們也就從而證明了在輻射在真空中的傳播中引入任何有序原理的不可能性。”

第2節題為《普遍數學問題的表述》，在這一節愛因斯坦和路德維希·霍普夫對問題再次進行了抽象處理，繼第1節將熱輻射傅裡葉級數系數An和Bn的獨立性問題歸結到 cos2πn·(ts/T)和sin2πn·(ts/T)

符合方程2的問題後，再次將 cos2πn·(ts/T)和sin2πn·(ts/T)抽象，將其抽象為函數(α)，並最終將系數An和Bn的獨立問題轉化為函數(α)的幾率問題:

“於是我們就給自己提出了如下的數學問題:

我們有為數甚多的一些元，它們的數值(對應於ts)服從一條已知的統計定律。依據這些數值中的每一個數值，我們建立某些函數1(α)，2(α)[對應於 sin2πn·(ts/T)，cos2πn·(ts/T)]。

我們必須對這些函數加上另一條限制，就是說，由其中一個α介於α dα中的幾率，可以得出有關的一條統計定律;

設具有介於和 d之間的值的幾率j()·d永遠是能使平均值

`(平均)=∫·j()·d=0的函數。”

至於上述設定最後給出的幾率j()·d永遠是能使平均值為0，其目的也是為後續的數學推導做準備，而能如此設定，論文中也進行了解釋，根據給出系數An和Bn的方程5，即正弦余弦函數X軸上下對稱，y值正負抵消，這個關系是能夠成立的:

“很容易看出我們的函數sin和cos確實符合這一假設。因為，如果0和T之間的每一個ts值都是等幾率的，則平均值 sin2πn·(ts/T)(平均)和cos2πn·(ts/T)(平均)都為零。”

通過上述的闡述，論文將最初的熱輻射傅裡葉級數系數An和Bn的獨立性問題歸結為Z(很多)個α元集合成一個體系的和式組合的統計定律問題:

“現在我們把(很多的)Z個這樣的。元集合成一個體系。屬於這個體系的有一些和式Σ

Σ(z)1(α)，Σ(z)2(α)…

(對應於系數 An/an，Bn/an)。

我們給自己提出的任務是求出這些和式的組合所服從的統計定律。”

之後，論文根據和式Σ所服從的統計定律不應該依賴於各元的數目Z為由，給出了和式Σ組合所服從的統計定律準備考察的參數S的設定，其為方程6:

S=Σ/√Z。

否定以和式Σ為統計定律考察對象的理由是以特例(α)只能為-1和 1時，有如下關系:

和

Σ(z 1)=Σ(z)±1和Σ(z 1)2=Σ(z)2 1

由此，論文就給出了統計定律準備考察的參數S的設定:

“因此，和式的平方平均值正比於元數而遞增。由此可見，如果我們願意得到一條不依賴於Z的統計定律，我們就必須不是考慮Σ，而是考慮另一些量。既然Σ2/Z保持不變，我們就可以考慮

S=Σ/√Z。”

至此，終於算完成了統計定律考察參數的設定。

第3節題為《各個S的統計定律》，在這一節首先考察單獨一個S的幾率定律，論文將S組成的簇定義為N體系，由於元α的統計分布，N也服從特定的統計定律，使其數值介於S和S dS之間的體系數為dN=F(S)·dS。

因為統計定律不依賴於各元的數目Z的設定，當Sz過渡到Sz 1時，dN必須不變，因此，進入給定域dS的體系數，必須和離開該域的體系數相同，

則Z到Z 1的過渡中，在數值和方向上同樣經過一個給定的數值S0的體系數Φ滿足divΦ=0(注:div散度算符，對空間求導)或dΦ/dS=0，同時，因為對於S=∞事實上Φ應有永遠為0，則Φ=0。

S(z 1)以方程7表示:

S(Z 1)=Σ(Z 1)(α)/√(Z 1)=S(Z)√[Z/(Z 1)] (α)/√(Z 1)

(注:根據方程6 S=Σ/√Z，則S(z)·√Z=Σ(z)，則方程7右邊第一項為Σ(z)/√(Z 1);再加上右邊第二項由Z到Z 1的過渡項，則右邊便是Σ(z 1)/√(Z 1)，由此，便得出了上述方程7。)

因為各元的數目Z很大，則方程7開方級數展開便變為方程8:

S(z 1)=S(z)-S(z)/2Z (α)/√Z

[注:Z/(Z 1)可寫成(Z 1-1)/(Z 1)=1 (-1)/(Z 1)，將(-1)/(Z 1)當作x，按1 x的開方級數展開，並按Z很大的設定，即可以將Z 1約等於Z帶入展開式，便得到了方程8。]

通過方程8可以看出，Z到Z 1的過渡中，在數值和方向上同樣經過一個給定的數值S0的體系數Φ分為兩部分:

Φ1為-S/2Z，意即所有曾經和S0有一個正距離≤S0/2Z的那些S，其為方程9:

Φ1=-S0·F(S0)/2Z

Φ2為(α)/√Z，意即來自離S0的每一個任意的正距離和負距離Δ，這一部分和布朗運動中的均方位移類似，距離Δ處的數dN為方程10:

F(S0 Δ)dS=F(S0 Δ)dΔ

整篇論文最複雜和晦澀的地方就是討論、計算方程10。

首先，只有小的Δ才是重要的，則方程10變為方程11:

{F(S0) Δ·dF/dΔ}dΔ

在這一數目中，所有來自一個負Δ處的沿正方向通過S0的那些數值都有一個很大的(α)，滿足方程12:

(α)/√Z≧Δ

其數目為方程13:

∫j()d(積分上下限: ∞，-Δ√Z)

同理，沿負方向進行的數目為方程14:

∫j()d(積分上下限:-Δ√Z，-∞)

將方程13和方程14帶入方程11可得Φ2為方程15:

Φ2=∫dΔ{F(S0) Δ·(dF/dΔ)S0}∫j()d(積分限: ∞，-Δ√Z)-∫dΔ{F(S0) Δ·(dF/dΔ)S0}∫j()d(積分限:-Δ√Z，-∞)

方程15分部積分為方程16:

Φ2=-∫dΔ{Δ·F(S0) Δ2/2·(dF/dΔ)S0}(積分限:0，-∞)j(-Δ√Z)·√Z-∫dΔ{Δ·F(S0) Δ2/2·(dF/dΔ)S0}(積分限:0，∞)j(-Δ√Z)·√Z

由於第1節已做的設定:

`(平均)=∫·j()·d=0

以及Δ√Z=，則方程16變為方程17:

Φ2=-1/2Z·(dF/dΔ)S0·∫2·j()·d=-1/2Z·(dF/dΔ)S0·`2

將Φ1數值方程9和Φ2數值方程17帶入前面論證的體系數Φ=0，可得微分方程18:

SF `2(dF/dS)=0

其解為方程19，即為高斯誤差定律:

F=常量·e[-S2/2`2]

第3節就此結束，這一節也是論文最複雜、晦澀的部分。

第4節題為《所有S(n)的組合的統計定律》，在這一節把第3節考察單獨一個S的幾率定律推廣到了任意多維:

量S變為S(n)，

定域dS變為dS(1)dS(2)…，

體系數變為dN=F(S(1)，S(2)…)·dS(1)dS(2)…，

divΦ=0或dΦ/dS=0變為divΦ=0或Σ(n)?Φ(n)/?S(n)=0，

方程18變為方程19:

Φ(n)=S(n)F `n2·?F/?S(n)

設`n2都相等，這意味著n各個被乘上適當的常數，而對正弦和余弦函數則是自動滿足這一簡化處理的，如此，由方程19可得微分方程20:

Σ(n)?[S(n)F `n2·?F/?S(n)]/?S(n)=0

剩下的工作就是對方程20的求解，依然是比較複雜、晦澀的數學和物理討論，首先，考慮遍及全部空間的積分，方程21:

∫1/F·Σ(n)[S(n)F `n2·?F/?S(n)]2·dS(1)…dS(n1)=∫Σ(n)[S(n)F `n2·?F/?S(n)]·[S(n) `n2·?logF/?S(n)]dS(1)…dS(n1)

方程21等號後第二項S(n)部分為方程21a:

∫Σ(n){[S(n)F `n2·?F/?S(n)]·S(n)}dS(1)…dS(n1)=∫[F·Σ(n)S(n)2 `n2·Σ(n)S(n)·?F/?S(n)]dS(1)…dS(n1)

對方程21a第二項進行分部積分，並考慮到無限遠處F=0，方程21a變為方程21a1:

=∫F[Σ(n)S(n)2-n2·n1]dS(1)…dS(n1)

而方程21a1第一項積分∫F·S(n)2·dS(1)…dS(n1)為平均值`S(n)2，根據第3節的方程19，`S2=`2，由此，則方程21a1積分為0，即方程21a積分也為0;

方程21等號後剩余部分為方程21b:

∫Σ{[S(n)F `2·?F/?S(n)]·`2·?logF/?S(n)}dS(1)…dS(n1)=∫`2·logF·Σ{?[S(n)F `2·?F/?S(n)]/?S(n)}dS(1)…dS(n1)

根據方程20可知，方程21b積分為0;

因此，根據方程21a和方程21b積分都為0，則方程21積分也為0，由此，根據方程21的被積分式是二次方，積分為零必須是被積分式到處為零的原理得出方程19的Φ(n)為0，即:

S(n)F `2·?F/?S(n)=0

其解為方程22:

F=常量·e[-S(1)2/(2`2)]·e[-S(2)2/(2`2)]

如此便得出了論文最初設定的證明目的:

“於是我們就得到了關於F的統計定律， 這和對每一個S(n)而言的高斯誤差定律相同

…

於是，各S(n)值的一個組合的幾率，簡單地就是各S(n)的幾率的乘積(注:符號方程2)。”

而論文最開始的針對某個給定空間點電磁力的傅裡葉級數解析表達式方程1熱輻射傅裡葉級數系數An和Bn與最終推導的S(n)的關系為:

S(n)= An/an，Bn/an

an是一個數學常數，不改變幾率關系，由此，則證明了論文開始提出的研究目的:熱輻射傅裡葉級數各個系數事實上就是獨立的，滿足方程2，即各An和Bn值的一個組合的幾率dW必然簡單地就是各單個系數的幾率之積，論文中最後結論的意思與此一致，但比較學術:

“這樣也就證明了方程(2)的有效，以及在描述熱輻射的傅裡葉級數的各個系數之間建立一種幾率論關系式的不可能性。”

這篇論述熱輻射傅裡葉級數系數獨立性的論文《論一條幾率計算定理及其在輻射理論中的應用》由愛因斯坦和路德維希·霍普夫(Ludwig Hopf，1884年-1939年)合著，《物理學年鑒》1910年8月29日收到，最終於12月20日發表。