愛因斯坦 愛因斯坦一百二十四乳光天藍四-六論文一十.一十

第四節題為《光在一種不均勻性無限微小的、無吸收的媒質中的偏轉的計算》，這一節依據麥克斯韋方程結合第三節最終導出的方程7，計算了光的強度與媒質密度的關系，按論文中的話說是研究媒質對通過它的光線的影響:

“現在既已由玻爾茲曼原理得到了均勻物質的密度或混合物的混合比將隨位置而變的統計定律(注:方程7)，我們將進而研究媒質對通過它而傳播著的一條光線的影響。”

首先，描述媒質每一點的麥克斯韋方程8:

e/c·?E/?t=curl H，

1/c·?H/?t=-curl E，

div H=0，

div(eE)=0。

其中，e是媒質表觀介電常數; E是電場強度; H是磁場強度;c是真空光速;curl是散度算符，對空間求導，意為通量的體密度;div是旋度算符，環線積分，意為環量的面密度。

方程8消去 H即為方程8a:

e/c2·?2E/?t2=Δ·E-gard div E，

div(eE)=0。

其中，Δ是媒質密度起伏;gard是梯度算符，梯度的大小代表變化的快慢。

媒質表觀介電常數e和媒質平均表觀介電常數e0(論文正文稱其為常值介電系數，公式中沒標注名稱)關系為方程8a1:

e=e0 (?e/?ρ)0·Δ=e0 ι

實際的場(總場) E和激發光波的場 E0的關系為方程8a2:

E=E0 e

其中， e即為乳光場，意即媒質密度起伏引起的光波電場強度的起伏。

將方程8a1和方程8a2代入方程8a即得方程8b:

方程8b1:

e0/c2·(?2e/?t2)-Δe=-1/c2·ι(?2E0/?t2)-gard div e

方程8b2:

div(ιE0) div(e0·e)=0

方程8b2展開，並考慮到 div E0=0和gard e0=0，即得方程8b2a:

div e=-1/e0·E0·gardι

將方程8b2a代入方程8b1即得方程8c:

e0/c2·(?2e/?t2)-Δe=-1/c2·ι(?2E0/?t2) 1/e0·gard{E0·gardι}=a

方程8c右端為已知矢量 a，由方程8c可知乳光場 e與矢量 a的關系，其形式與矢勢、電流之間的關系相同，其解為方程8c1:

e=1/4π·∫[{a}(t0-r/V)/r]·dτ

其中，r是dτ到測試點的距離; V=c/√e0是光波在媒質中的傳播速度;體積分遍及激發光場 E0異於0的全部空間。

如果方程8c1的積分隻包括體積的一部分，則得到的就是激發光波通過這一部分體積時所引起的那一部分乳光場，第四節剩下的部分就是求解這種部分乳光場，部分乳光場研究的流體包含在其棱長 l小於第三節不等式5中的棱長L，其立方體由不等式5b確定:

平面激發光波電場 E0由方程9決定:

E0=H·cos2πn(t-ΠΥ/V)

其中，Π為單位波線矢量(分量為α，β，γ);Υ為從坐標原點畫起的矢徑(分量為 x，y，z)。

設入射點在X軸的D處，D與棱長 l相比為無限大，則對此入射點來說，方程8c1變為方程方程8c1b:

e=1/4πD·∫[{a}(t1 x/V)]·dτ

其中，t1為t0-D/V;方程8c1中的r和方程8c1b中的D相差無限小，因此進行了替換。

將方程8c中的矢量 a代入方程8c1b可得方程8c1c(論文中對這步轉換進行了複雜的數學和物理論證):

ex=0，

ey=-1/4πDc2·∫ι(?2E0y/?t2)*·dτ，

ez=-1/4πDc2·∫ι(?2E0z/?t2)*·dτ。

其中，*為函數標量的意思。

根據方程9可得平面激發光波電場 E0的y方向分量標量為方程9a:

(?2E0y/?t2)*=-Hy·(2πn)2·cos2πn[t1 x/V-(αx βy γz)/V]

將方程9a帶入方程8c1c的第二個方程，可得方程8c1c2:

ey=[Hy·(2πn)2]/(4πDc2)·?e/?ρ·Σ(ρ)Σ(s)Σ(τ)·B(ρsτ)∫∫∫cos2πn{[t1 (1-α)x-βy-γz)]/V}·cos(2πρ·x/2L)·cos(2πs·y/2L)·cos(2πτ·z/2L)·dxdydz

積分遍及乳光場棱長為 l的立方體。

方程8c1c2中的積分記為 J(ρsτ)，具體為方程8c1c2a:

J(ρsτ)=(1/2)3·l3·[sin(l-l′)·(l/2)]/[(l-l′)·l]/2·[sin(m-m′)·(l/2)]/[(m-m′)·l]/2·[sin(v-v′)·(l/2)]/[(v-v′)·l]/2·cos{2πnt1 [(l-l′)·l]/2 [(m-m′)·l]/2 [(v-v′)·l]/2}

方程8c1c2a中的參數如關系式8d所示:

l=2πn[(1-α)/V]，l′=πρ/L;

m=-2πn(β/V)，m′=πs/L;

v=-2πn(v/V)，v′=πτ/L。

由此，方程8c1c2可表示為方程10:

ey=A·Σ(ρ)Σ(s)Σ(τ)·B(ρsτ)·J(ρsτ)

方程10中參數A如下所示:

A=[Hy·(2πn)2]/(4πDc2)-?e/?ρ

方程10給出了時刻t0=t1 D/V，空間位置x=D、y=z=0點上的乳光場的即時值。

接下來要繼續求解乳光場y方向的平均強度，其為方程11:

`ey2=A2·ΣΣΣΣΣΣ·B(ρsτ)B(ρ′s′τ′)·J(ρsτ)J(ρ′s′τ′)

由第三節的證明可知參量B相互獨立的滿足高斯誤差定律，所以，當不是ρ=ρ′，s=s′和τ=τ′的情況時， B(ρsτ)B(ρ′s′τ′)=0，由此，ρ=ρ′，s=s′和τ=τ′，意即B(ρsτ)=B(ρ′s′τ′)和J(ρsτ)=J(ρ′s′τ′)，方程11可簡化為方程11a:

`ey2=A2·ΣΣΣB(ρsτ)2·J(ρsτ)2

乳光場平均強度對時間求平均隻涉及 J(ρsτ)的方程8c1c2a，由此，方程11a可轉化為方程11b:

`ey2=?·A2·(l/2)6·ΣΣΣB(ρsτ)2·sin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2。

方程11b新設簡化參數如下關系式11c所示:

ξ=[(l-l′)·l]/2，

η=[(m-m′)·l]/2，

ζ=[(v-v′)·l]/2。

經過如下討論:

“再者，根據方程7， B(ρsτ)2是不依賴於ρsτ的，因此可以提到連加號前面去。

此外，按照關系式11c和關系式8d，屬於相鄰ρ值的ξ彼此相差一個πl/2L，亦即相差一個無限小的量。因此，式中的三重和式就可以改寫成三重積分。既然如上所述三重和式中兩個相鄰ξ值之間的間隔Δξ是由關系式

Δξ·2L/πl=1

來描述的，我們就有

ΣΣΣsin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2=(2L/πl)3·ΣΣΣsin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2·Δξ·Δη·Δζ，

式中的最後一個和式可以直接寫成一個三重積分。我們可以由關系式11c和關系式8d得出結論說，為了一切的實際目的，這個積分可在積分限-∞必和 ∞之間計算，於是它就分解成三個積分的乘積，其中每一個積分的值都是π。”

如上考慮下，借助方程7，並將A的表示式方程6d代入方程11b，便得乳光場y方向的平均強度為方程方程11c:

ey2=RT0/N·(?e/?ρ)2/[υ2·(?2ψ/?υ2)]·(2πn/c)4·l3/(4πD)2·Hy2/2。

(注:論文中此處開始用υ代之比容，與前面的比容代號 v不一致。)

以比容 v比容v=1/ρ來表示，並將c/n改寫成激發光的波長l，則為方程11d:

ey2=RT0/N·υ(?e/?ρ)2/(?2ψ/?υ2)·(2π/l)4·Φ/(4πD)2·Hy2/2。

其中，Φ代表光經過產生的乳光的體積。

同理，可得乳光場z方向的平均強度，而乳光場x方向的平均強度為0，從方程8c1c那x方向的乳光場就為0了，論文中在方程8c1c對此進行了複雜的數學和物理論證，當然，簡單的物理解釋也可以達到此論證，即光的橫波本性必然意味著乳光場x方向的分量 ex為0。

由此可知，電矢量在垂直於乳光射線的平面上的投影決定了沿一個給定方向發射的乳光的強度及偏振，而與激發光是沿著什麽方向傳播無關。

論文分析的媒質密度起伏引起的乳光現象與由遠小於光之波長的懸浮粒子所引起的乳光具有同樣的性質，因為兩種事例都涉及受照射物質的均勻性的不規則擾亂，而擾亂的位置又是迅速變化的。

根據方程11d，乳光強度J0和激發光強度Je的關系為方程11d1:

J0/Je=RT0/N·υ(?e/?ρ)2/(?2ψ/?υ2)·(2π/l)4·Φ/(4πD)2·cos2j。

其中，Je是激發光的強度;J0是沿一特定方向離開激發位置的距離為D處的乳光強度;j是激發光的電矢量和垂直於所考慮乳光的平面之間的夾角。

根據方程11d1還可以精確的確定分子絕對的大小N，即阿伏伽德羅常數。

根據方程11d，通過對所有方向求乳光的積分來計算由於乳光現象而出現的表觀吸收為方程11d2:

α=1/6π·RT0/N·υ(?e/?ρ)2/(?2ψ/?υ2)·(2π/l)4

其中，α吸收常量，而強度衰減因子為e-αδ;δ是光所經過的物質層的厚度。

第五節題為《均勻物質》，這一節對上一節導出的方程11d1進行了兩種具體場景應用。

一為，對均勻物質來說:

比容表示的元功ψ函數與比容υ和壓強p的關系為(方程6e處)方程12:

ψ=-∫p·dυ

(注:論文從方程11c處開始用υ代之比容，與前面方程6e處最早提出的比容代號 v不一致。)

有方程12微分可得方程12a:

?2ψ/?υ2=-?p/?υ

其中，?p/?υ為等溫導數，因為在所有屬於給定密度分布的狀態中，具有常值溫度的狀態就是熵最大的狀態，從而也在給定的能量下具有最大的統計幾率。

根據克勞修斯-莫索締(Mosotti)-洛倫茲關系式，表觀介電常數e和比容υ的關系為方程12b:

(e-1)/(e 2)·υ=常量

由方程12b得方程12b1:

(?e/?υ)2=(e-1)2·(e 2)2/9υ2

將方程12a和方程12b1代入上一節得方程11d1，即得方程12c:

J0/Je=RT0/N·[(e-1)2·(e 2)2]/[9υ(-?p/?υ)]·(2π/l)4·Φ/(4πD)2·cos2j

方程12c便給出了在離激發光所經體積Φ的距離為D處測量的激發光強度Je和乳光強度J0的比值。

二為，對理想氣體來說，表觀介電常數e 2=3，則方程12c變為方程12c1:

J0/Je=RT0/N·(e-1)2/p·(2π/l)4·Φ/(4πD)2·cos2j

方程12c1解釋了被光照射的大氣為何主要發出的是藍光，論文的分析證明解釋天空為藍不需要用到物質分立分布的假設，即無需假定物質以分立的聚集狀態存在。另一方面，通過對完全無規分布的各個氣體分子的輻射求和也可以得到方程12c1。

第五節題為《混合液體》，這一節依然是對第四節導出的方程11d1的應用擴展，其針對的對象為混合液體的乳光現象。

設混合物第一種成分和第二種成分的單位質量分別為1和 k，則混合液總單位質量為1 k;

混合物第一種成分和第二種成分的比容分別為υ和υ′′;

混合物氣相中第二種成分的分壓強為 p′′。

上述混合物被注入一個容器中，其器壁一部分為半透性的，第二種成分可以在氣體形態下被加入和取出，而第一種成分不可以;

另有一個相對無限大的容器含有相對無限大的混合物，成分為 k0，容器依然有半透壁的氣態空間容納第二種成分，其分壓強和比容分別為 p0′′和υ0′′。

兩個容器的溫度都為T0，把質量為 dk的第二種成分在氣體形態下以一種可逆的方式從第二容器送入第一容器中，這樣來使第一容器中的濃度量度 k增大一個 dk，則此場景下所必須做的功 dψ三個部分(忽略液體容積):

-dk/M′′·p0′′·υ0′′(從第二容中取出物質時的功);

dk/M′′·RT0·lg(p′′/p0′′)(等溫壓縮到第一容器中的分壓強);

dk/M′′·p′′·υ′′(放入第一容器時的功)。

其中，M′′是氣相中第二種成分的相對分子質量。

按照莫索締(Mosotti)定律，第一項和第三項互相抵消，則功 dψ為方程13:

dψ=RT0/M′′·dk·lg(p′′/p0′′)

方程13結合如下關系式:

lg(p′′/p0′′)=lg[1 (p′′-p0′′)/p0′′]=lg(1 π)=π-π2/2…

(其中，π為第二種成分對原始狀態而言的相對壓強改變量。)

可得方程14:

?ψ/?υ=RT0/M′′·(π-π2/2…)/(?υ/?k)

方程14對第一種成分的比容υ微分， 並令π=0，即得方程14a:

(?2ψ/?υ2)0=RT0/M′′·(?π/?k)/(?υ/?k)2=RT0/M′′·(1/p′′·?p′′/?k)/(?υ/?k)2

參照方程14a，即可將第四節的方程11d1改寫為方程15:

J0/Je=M′′/N·υ(?e/?k)2/[?(lgp′′)/?k]·(2π/l)4·Φ/(4πD)2·cos2j。

方程15隻包含可以在實驗上測量的量，其能完全確定二元混合液體的乳光性質，直至緊靠臨界點的一個小域為止，其確定的范圍中各成分的蒸氣可以看成理想氣體。

論文《關於均勻流體及混合液體在臨界狀態附近的乳光現象的理論》以對實驗驗證的期盼而結束，並點明論文根據玻爾茲曼熵S概率公式而導出的乳光理論可以計算阿伏伽德羅常數N:

“此處所考慮的現象的一種定量的實驗研究將是很有興趣的:

一方面，知道玻爾茲曼原理是否確實給出此處所考慮的現象的正確解釋，這將是很有價值的;

另一方面，這樣的研究將能引向數N的精確值。”

《物理學年鑒》1910年10月8日收到愛因斯坦的這篇乳光天藍論文《關於均勻流體及混合液體在臨界狀態附近的乳光現象的理論》，最終於12月20日發表。

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