愛因斯坦 愛因斯坦四十八狹義相對論第八-一十部分

論文《論動體的電動力學》的第八部分題為《光線能量的變換作用在完全反射鏡上的輻射壓力理論》，在這一部分愛因斯坦首先論證了同一個光能集合體的體積分別從靜系K和動系k考察是不同的。

首先，從靜系K考察，單位體積的光能能量為A2/8π;從動系k考察，單位體積的光能能量為A′2/8π，兩者的關系為公式29:

A′=A·[1-(υ/V)·cosj]/√[(1-υ2/V2)]

(注:參照公式27給出。)

根據光速不變原理，光能不會超過光速傳播，則從靜系K考察，光能集合體被囊括在方程30描述的以光速V運動的球面中:

(x-Vat)2 (y-Vbt)2 (z-Vct)2=R2。

其中，V是光速，a，b，c是靜系中光的波面法線的方向余弦。

從動系k考察，設定動系時間τ=0時，描述此球面的為方程31:

[βξ-aβξ(υ/V)]2 [η-bβξ(υ/V)]2 [z-cβξ(υ/V)]2=R2。

(注:將動系時間τ=0代入公式10的洛倫茲變換，可得t=vx/V2，將其代入方程30，並結合公式10的洛倫茲變換得到xyz與動系εηζ的關系，即可得方程31。)

由方程31可知，從動系k考察，囊括光能的圓球為橢球形。靜系K考察的圓球S與動系k考察的橢球S′體積之比為公式32:

S′/S=√[(1-υ2/V2)]/[1-(υ/V)·cosj]

靜系K考察、量得的，為球面S包圍的光能能量為E，動系k考察、量得的，為橢球面S′包圍的光能能量為E′，聯立公式29和公式31可得公式33:

E′/E=[(A′2/8π)S′]/[(A2/8π)S]=[1-(υ/V)·cosj]/√[(1-υ2/V2)]。

特別是當 j角為0時，cos j=1，則公式33變為公式34:

E′/E=√[(1-υ/V)/(1 υ/V)]。

對比第七部分的公式25: n′=n·√[(1-υ/V)/(1 υ/V)]，愛因斯坦做出了評述:“可注意的是，光集合體的能量(注:公式34)和頻率(注:公式25)都隨著觀察者的運動狀態遵循著同一定律而變化。”

做完上面的基礎考察後，愛因斯坦開始探討完全反射面的問題，設坐標平面ε=0為一個完全反射的表面，入射光從靜系K考察，以振幅A、法線方向余弦cos j和光線頻率 n來描述，則從動系k考察，根據公式10的洛倫茲變換，上述參數為公式35:

A′=A·[1-(υ/V)·cosj]/√[(1-υ2/V2)]

cosj′=(cosj-υ/V)/[1-(υ/V)·cosj]

n′=n·[1-(υ/V)·cosj]/√[(1-υ2/V2)]。

對於反射後的光，由動系k考察為方程36:

A′′=A′，

cosj′′=-cosj′，

n′′=n′。

對於反射後的光，由靜系K考察，根據公式10的洛倫茲變換，並代入公式35和公式36，可得由靜系K考察的描述反射光線的公式37:

A′′′=A′′·[1 (υ/V)·cosj′′]/√[(1-υ2/V2)]=A·[1-2(υ/V)·cosj (υ/V)2]/[(1-υ2/V2)]，

cosj′′′=(cosj′′ υ/V)/[1 (υ/V)·cosj′′]=-{[1 (υ/V)2]cosj-2(υ/V)}/[1-2(υ/V)·cosj (υ/V)2]，

n′′′=n′′·[1 (υ/V)·cosj′′]/√[(1-υ2/V2)]=n·[1-2(υ/V)·cosj (υ/V)2]/[(1-υ2/V2)]。

(注:公式37，最後一項公式的分母有誤，應該是(1-υ2/V2)。《愛因斯坦全集》注解33也已指出此點。)

由靜系K考察，每單位時間內射到反射鏡上單位面積的能量為公式38:

A2/8π(-υ)。

(注:A2/8π是入射光單位體積的光能能量， -υ是靜系考察入射光的速度。)

由靜系K考察，每單位時間內離開反射鏡的單位面積的能量為公式39:

A′′′2/8π(-′′′ υ)。

(注: A′′′2/8π是反射光單位體積的光能能量，-′′′ υ是靜系考察反射光的速度。)

公式38和公式39的能量差就是單位時間內光壓所做的功，等於光壓P·v，由此可知光壓P由公式40決定:

P=(2A2/8π)·[(cosj-υ/V)2/(1-υ2/V2)]

公式40的一級近似為公式41:

P=(2A2/8π)·cos2j

公式41令愛因斯坦為自己的理論又找到了一個現實的依據:“就第一級近似而論，我們得到一個同經驗一致，也同別的理論一致的結果。”

麥克斯韋算出了類似公式41的光壓公式，並分別於1901年被列別捷夫、1903年被尼科爾斯和赫爾實驗驗證。

至此，對於自己運用根據狹義相對性原理和光速不變原理為原則導出的洛倫茲變換(注:唯一可惜的是洛倫茲從錯誤的思考角度首先湊出了準確的靜系動系變換方程式，不然論文裡的變換完全可以叫愛因斯坦變換了)就解決了如此多的電動力學問題，愛因斯坦本人也很自豪，在得出光壓公式後，愛因斯坦在第八部分的最後自豪的做了一段論述，再次誇讚起了自己以上運用洛倫茲變換從新闡釋電動力學的新思路新方法:

“關於動體的一切光學問題，都能用這裡所使用的方法來解決。其要點在於，把受到一動體影響的光的電力和磁力，變換到一個同這個物體相對靜止的坐標系上去。通過這種辦法，動體光學的全部問題將歸結為一系列靜體光學的問題。”

在自豪中結束第八部分的愛因斯坦緊接著又運用自己的新武器洛倫茲變換討論了電子的運流問題，第九部分題為《考慮到運流的麥克斯韋-赫茲方程的變換》，這一部分研究運流電流問題，又稱作對流電流或徙動電流，是指電荷在不導電的空間，如真空或極稀薄氣體中的有規則運動所形成的電流。

在這一部分，愛因斯坦首先列出了此類問題的傳統電動力學方程42:

(1/V)·(uxρ ?X/?t)=?N/?y-?M/?z，

(1/V)·(uyρ ?Y/?t)=?L/?z-?N/?x，

(1/V)·(uzρ ?Z/?t)=?M/?x-?L/?y，

(1/V)·?L/?t=?Y/?z-?Z/?y，

(1/V)·?M/?t=?Z/?x-?X/?z，

(1/V)·?N/?t=?X/?y-?Y/?x。

其中ρ=?X/?x ?Y/?y ?Z/?z，表示電的密度的4π倍，(ux，uy，uz)表示電的速度矢量。

愛因斯坦在論文中解釋方程42是洛倫茲動體電動力學和光學的電磁學基礎:“如果我們設想電荷是同小剛體(離子、電子)牢固地結合在一起的，那麽這些方程就是洛倫茲的動體電動力學和光學的電磁學基礎。”

將方程42進行公式10的洛倫茲變換和第六部分方程21的電磁學變換，可將靜系K考察的方程42變到動系k考察的方程43:

(1/V)·(uξρ′ ?X′/?τ)=?N′/?η-?M′/?z，

(1/V)·(uηρ′ ?Y′/?τ)=?L′/?z-?N′/?ξ，

(1/V)·(uzρ′ ?Z′/?τ)=?M′/?ξ-?L′/?η，

(1/V)·?L′/?τ=?Y′/?z-?Z′/?η，

(1/V)·?M′/?τ=?Z′/?ξ-?X′/?z，

(1/V)·?N′/?τ=?X′/?η-?Y′/?ξ。

其中，(ux-υ)/(1-ux·υ/V2)=uξ，

uy/[β(1-ux·υ/V2)]=uη，

uz/[β(1-ux·υ/V2)]=uz，

ρ′=?X′/?ξ ?Y′/?η ?Z′/?z=ρ·[β(1-ux·υ/V2)]。

給出動系k考察的方程43後，愛因斯坦在論文就做了一段評述，並結束了第九部分:

“因為——由速度的加法定理(第五部分)得知——矢量(ux，uy，uz)只不過是在k系中量得的電荷的速度，所以我們就證明了:根據我們的運動學原理，洛倫茲的動體電動力學理論的電動力學基礎是符合於相對性原理的。

此外，我還可以簡要地說一下，由已經推演得到的方程可以容易地導出下面一條重要的定律:如果一個帶電體在空間中無論怎樣運動，並且從一個同它一道運動著的坐標系來看，它的電荷不變，那麽從‘靜系’K來看，它的電荷也保持不變。”

第九部分到此結束，論文《論動體的電動力學》的最後一部分是第十部分，題為《(緩慢加速的)電子的動力學》，這一部分根據狹義相對論思路討論了緩慢加速的電子在電磁場中的運動。

首先，設有一點狀的具有電荷ε的粒子(以後叫“電子”)在電磁場中運動，假定它的運動定律如下:

如果這電子在一定時期內是靜止的，在隨後的時刻，只要電子的運動是緩慢的，它的運動就遵循方程44(注:牛頓第二定律微分形式):

μ·d2x/dt2=eX，

μ·d2y/dt2=eY，

μ·d2z/dt2=eZ。

其中，xyz是電子的坐標，μ是電子的質量，e是電子的電荷，XYZ是電力的矢量。

在開始考察電子時其位置設定為坐標原點，並沿著靜系K的X軸以速度v運動，為此，電子在考察的短時期內對動系k是靜止的，在隨後很小的時間內，由動系k考察，電子的運動由方程45給出:

μ·d2ξ/dτ2=eX′，

μ·d2η/dτ2=eY′，

μ·d2z/dτ2=eZ′。

ξ，η，z，τ，X′，Y′，Z′由動系k給出，設定靜系K給出的 t=x=y=z=0，動系k給出的參數τ=ξ=η=z=0，則根據公式10的洛倫茲變換和第六部分方程21的電磁學變換，可將動系k考察的方程45變到靜系K考察的方程46:

d2x/dt2=(e/μ)·(1/β3)·X，

d2y/dt2=(e/μ)·(1/β)·(Y-υ/V·N)，

d2z/dt2=(e/μ)·(1/β)·(Z υ/V·M)。

經過簡單的變換，方程46可變為方程47:

μβ3·d2x/dt2=eX=eX′，

μβ2·d2y/dt2=eβ(Y-υ/V·N)=eY′，

μβ2·d2z/dt2=eβ(Z υ/V·M)=eZ′。

eX′，eY′，eZ′是作用在電子上的有質動力的分量，將其定為“作用在電子上的力”，根據牛頓第二定律:質量×加速度=力，可看出方程47左邊的質量分別為:μβ3，μβ2和μβ2，愛因斯坦在論文中將μβ3定義為縱質量，μβ2定義為橫質量，即公式48:

縱質量=μ/[√(1-υ2/V2)]3，

橫質量=μ/√(1-υ2/V2)。

對縱質量和橫質量的提出，愛因斯坦在論文中做了一番研究電子運動要謹慎的評述:“當然，用另一種力和加速度的定義，我們就會得到另外的質量數值。由此可見，在比較電子運動的不同理論時，我們必須非常謹慎。”

愛因斯坦做這個謹慎評述的背景是1902年-1903年亞伯拉罕、1904年洛倫茲、1904年布赫爾和1905年朗之萬都提出過電子模型，這些模型最後卻導致了不同的電子運動方程，在此，愛因斯坦暗示出現不同電子模型和電子運動方程的根源是大家都不了解自己剛發現的相對論效應，導致電子如質量之類的參數在不同理論有偏差，也都是片面而不足的。

考察完電子的質量後，愛因斯坦開始了對電子動能及運動定律的考察。首先是確定電子的動能，設一個電子開始時在靜系K的坐標原點上，起始速度為0，在一個靜電力X的作用下，沿著X軸運動，由於電子是緩慢加速的，不會以輻射的形式喪失能量，那麽從靜電場中取得的能量必定等於電子的運動的能量W，由此可得方程49:

W=òeXdx=òμβ3υdυ=μV2[1/√(1-υ2/V2)-1]。

積分上下限為υ和0。

(注:=òβ3υdυ項少了電子質量μ，方程49的積分過程如下:

推導中光速以現在慣用的c表示，以大V表示光速太容易與參照系相對速度小v相混淆了。)

對方程49，愛因斯坦再次強調了超光速在目前理論上的不可能:“由此，當v=V時，W就變成無限大。超光速的速度——像我們以前的結果一樣——-沒有存在的可能。”

在第十部分的最後，愛因斯坦以靜系K考察的電子運動方程46為依據分析了三個問題:

1、通過磁偏轉力和電偏轉力之比來計算電子速度

根據方程46的 d2y/dt2=(e/μ)·(1/β)·(Y-υ/V·N)可知，電力Y和磁力N，對於一個以速度v運動著的電子，當Y=N·v/V時，它們產生同樣強弱的偏轉作用，則對於任何速度的磁偏轉力Am同電偏轉力Ae之比就等於v/V，即 Am/Ae=υ/V。

愛因斯坦對這個關系式評述說:“這個關系可由實驗來驗證，因為電子的速度也是能夠直接量出來的， 比如可以用迅速振蕩的電場和磁場來量出。”

2、電子通過的勢差和電子速度的關系

從關於電子動能的推導(注:方程49)可知，在電子所通過的勢差P同電子所得到的速度v之間，必定有公式50的關系:

P=òXdx=(μ/e)·V2[1/√(1-υ2/V2)-1]

3、通過磁力計算電子路徑的曲率半徑

當存在著一個同電子的速度相垂直的磁力N(作為惟一的偏轉力)時，根據方程46的 d2y/dt2=(e/μ)·(1/β)·(Y-υ/V·N)可以計算在這磁力作用下的電子路徑的曲率半徑R，其由公式51決定:

-d2y/dt2=υ2/R=(e/μ)·(υ/V)N·√(1-υ2/V2)

或者 R=V2·(μ/e)·(υ/V)/√(1-υ2/V2)·(1/N)。

之後，愛因斯坦以一句話結束了正文部分:“根據這裡所提出的理論，這三項關系完備地表述了電子運動所必須遵循的定律。”

在論文《論動體的電動力學》的最後，愛因斯坦以一句感謝米歇爾·貝索的話正式結束了這篇名垂科學史冊的、宣告了狹義相對論正式誕生的論文:

“最後，我要聲明，在研究這裡所討論的問題時，我曾得到我的朋友和同事米歇爾·貝索的熱誠幫助，我要感謝他一些有價值的建議。”

筆者也勉為其難的大體通了一遍愛因斯坦這篇宣告一位科學巨人正式登場科學界的論文，汗！