愛因斯坦 愛因斯坦九十二運動媒質電動力學第2論文八.五

1908年5月7日，愛因斯坦和勞布完成了他們的第二篇關於運動媒質電動力學的論文，題為《關於施加於靜止在電磁場中的物體上的有質動力》。這篇論文不是重述閔可夫斯基的工作，而是修正閔可夫斯基工作中的“失誤”。

愛因斯坦和勞布的運動媒質電動力學第二論文主要研究有質動力，這指的是電場和磁場施加於媒質體積元上的力。

在論文一開始，愛因斯坦和勞布就指出了他們認為的閔可夫斯基工作中的失誤，將傳導電流和位移電流做了區別對待:

“閔可夫斯基先生在新近發表的一項研究中，對於作用在任意運動物體上的源於電磁的有質動力，提出了一個表達式。如果人們把閔可夫斯基的表達式限定於靜止的各向同性的均勻物體，則對於作用在單位體積上的力的X分量，人們就得到:

(1)

Kx=ρ·Ex Iy·Bz-Iz·By

其中ρ表示電密度、 I是電傳導電流、 E是電場強度、 B是磁感應強度。

對我們來說，這一表達式似乎與電子理論的圖像不一致。理由是:

在磁場中，雖然一個被電流(傳導電流)橫穿的物體要經受一個力，但按照方程(1)，如果在磁場中的此物體不是被傳導電流而是被一極化電流(?D/?t)所滲透，則情況將不是如此。從而按照閔可夫斯基的表達式，在位移電流和傳導電流之間，原則上存在一種差別，使得一個導體不能被看做是具有無限大的介電常數的電介質(注:即位移電流不存在了，因為位移電流對應的便是無限大介電常數的電介質)。”

指出閔可夫斯基工作中的失誤後，愛因斯坦和勞布給出了自己論文的研究目的，導出真正的有質動力表達式，當然，鑒於兩人數學水平目前跟不上閔可夫斯基那種專業級的數學教授，因此，兩人的研究基於的對象是簡化的(後來研究出廣義相對論後，愛因斯坦說過此前自己的科學研究應用的數學就像兒戲):

“著眼於這種情況，對我們來說，根據電子理論對任意可磁化的物體導出有質動力，這似乎是令人感興趣的。在這裡我們提出這樣一種推導，雖然要把我們自己限於靜止的物體。”

論文共分三部分，第一部分題為《與基本粒子的速度無關的力》，這一部分推導了電磁場對物質施加的與基本粒子的速度無關的力的X分量的表達式。

論文首先給出了此類問題的研究模型:

被束縛在平衡位置上的形成偶極子的由電和磁的有質量粒子的空間位移構成電極化和磁極化，同時，還存在不束縛於偶極子的可移動的傳導電子，則物質和電磁場之間的相互作用便是由這些粒子與電磁場的相互作用所導致的。

因此，電磁場對物質的單位體積元所施加的力便是電磁場對所考慮的體積元中所有基本電粒子和磁粒子所施加的有質動力的合力，而不切割任何電或磁偶極子的邊界便是體積元的邊界。

首先電場對偶極子施加力的X分量 F1x為方程1:

F1x=Px·?Ex/?x Py·?Ex/?y Pz·?Ex/?z

其中， P是單位體積中所有電偶極子矩的矢量，即電極化矢量; E是電場強度。

如果正傳導電子和負傳導電子的代數和不為零，則作用在單位體積中所有傳導電子的有質動力的X分量 F2x為方程2:

F2x=ExΣe

其中，∑e是單位體積中所有傳導電子電質量代數和。

按照高斯定律和位移矢量 D的定義，∑e=div D，則方程2變為方程2a:

F2x=Ex·divD

(注:div是散度算符。)

將方程1和方程2合起來便是電場強度對單位體積的物質所施加的力的X分量 Fex，此為方程3:

Fex=F1x F2x=Px·?Ex/?x Py·?Ex/?y Pz·?Ex/?z Ex·divD

方程3描述的就是靜電問題中的有質動力，將其與靜電學中所用的有質動力表達式比較，可以令 p=(e-1)E，

其中， p是單位體積中所有電偶極子矩的矢量，即電極化矢量; E是電場強度;e是介電常數。

則方程3可變為方程3a:

Fex=Ex·divD-E2/2·?e/?x {?[(e-1)E2]/?x}/2

對方程3a論文進行了一定的文字說明:

“這一表達式中的前兩項與來自靜電學中的那些熟悉的表達式是相同的，正如人們可以看到的那樣，第三項可以從一個勢中導出。如果所涉及的力是在真空中作用於一物體，則此項對遍及整個物體的積分就沒有任何貢獻;然而，如果所涉及的有質動力作用於液體，則對應於第三項的那部分力就被液體中平衡時的壓力分布所抵消。”

(注:方程3a這段在論文第一部分的最後，本作將其提到方程3的後面。)

由類似的方式考察，可得磁場強度對單位體積的物質所施加的力的X分量 Fmx為方程4:

Fmx=Dx·?Hx/?x Dy·?Hx/?y Dz·?Hx/?z

電場強度和磁場強度不僅給予各向的異性物體一個力，還給予作用在物質上的力偶，其對單位體積的物質的所有電偶極子和磁偶極子施加的力矩Я為方程5:

Я=pE MH

其中， p是單位體積中所有電偶極子矩的矢量，即電極化矢量; E是電場強度; M是磁極化矢量; H是磁場強度。

第二部分題為《與基本粒子的速度有關的力》，這一部分通過分析作用在由一傳導電流穿過的物體上的力的方式證明了極化電流和傳導電流對於電動力學作用是完全等價的，以證實論文一開始指出的閔可夫斯基工作中的失誤。

這一部分傳導電流穿過的物體的場景一設計為由可磁極化的材料構成的、橫截面無限薄的、寬度為b的條帶在與紙面垂直的兩個方向上無限延伸，並被置於均勻磁場 Ha中，磁場的方向對讀者來說為向下方向，上述物質條帶被傳導電流i穿過。

均勻磁場 Ha在物質條帶的頂端和底端感生出密度為 Ha(1-1/m)的各磁化層，其中m是磁導率，其方向在頂端的層是負的，在底端的層是正的，即對讀者來說條帶上方層為負的，下方層為正的。每一層磁化層都受到因電流i流過條帶而引起的力的作用，其大小為(1-1/m)Ha·i，論文中說此前這種力人們沒有考慮到。

這個力(1-1/m)Ha·i和由於電流流過磁場對條帶的體積元施加的力R之和就是施加在條帶的單位長度上的全部力 Ha·i，其為方程6:

(1-1/m)Ha·i R=Ha·i

也可以寫成方程6a的形式:

R=Ha·i/m=Hi·i

其中， Ha是外在磁場強度，i是通過物質條帶的傳導電流，m是磁導率，R是由於電流流過磁場對條帶的體積元施加的力R; Hi= Ha/m，論文中只是稱其為“場強”，應該是外在磁場強度引起的條帶內磁場強度。

(注:愛因斯坦和勞布的兩篇關於運動媒質電動力學的論文符號方面與現代通用的不一致也是理解論文的一大障礙，更麻煩的是論文中用的符號很別致，不常見。而且這篇論文裡不時強調磁場強度和磁感應強度不同，但也沒指出具體的不同之處，更令人憂心的是論文語境中的磁場強度和磁感應強度概念和現代的也未必一樣。論文裡磁力、電力和磁場強度、電場強度的說法也是混用，就是論文引用的高斯定律等其形式與現代教科書的也不樣，對現代的小白來說，這些都是理解論文的障礙。

本文的符號采用的現代通用的符號。)

接下來，論文又設計了一個具體的場景二——一個被空虛空間所包圍並被電流 I穿過的、沿坐標系的X軸在兩個方向無限延伸的、與X軸垂直磁化的、硬磁體圓柱形導體，導體的材料常數以及磁場矢量(論文稱為“磁力 H”)與x無關，為y和z的函數——並計算了其R值，即由於電流流過磁場對條帶的體積元施加的力。這個場景中沒有外在的磁場作用在導體上，目的是證明距導體很遠處的磁力 H為0。

首先，根據磁場強度對單位體積的物質所施加的力的X分量 Fmx方程4和論文第二部分開始提出的作用在載流體積元上的體積力 Fs=IH/c，可得在Z軸方向作用於導體單位長度上的總力R為方程7:

R=∫(Dy·?Hz/?y Dz·?Hz/?z)d ∫(Ix·Hy·d)/c

其中，d是YZ平面的表面元。

論文第二部分剩下的工作就是對方程7積分過程的具體分析:

首先，方程7第一項有如下關系式7a(微積分運算法則):

Dy·?Hz/?y Dz·?Hz/?z=?(Dy·Hz)/?y ?(Dz·Hz)/?z-Hz(?Dy/?y ?Dz/?z)

由於力在無限遠處等於零，則關系式7a前兩項對YZ平面中的積分為0;

由於散度 divB=0，關系式7a第三項可以被替換，則方程7第一項積分變為方程7b:

∫Hz(?Hy/?y ?Hz/?z)d

方程7b有如下關系式7c(微積分運算法則):

Hz(?Hy/?y ?Hz/?z)=?(Hy·Hz)/?y (?Hz2/?z)/2-Hy·?Hz/?y

關系式7c前兩項積分為0，根據麥克斯韋方程，第三項可變為關系式7d:

-Hy·(Ix ?Hz/?z)/c

由上述7a到7d的論證，方程7最終變為方程7e:

R=(-1/c)·∫Hy·(Ix ?Hz/?z)d (1/c)·∫Ix·Hy·d=(-1/c)·∫Hy·(?Hy/?z)d=(-1/2c)·∫(?Hy2/?z)d

因為力在無限遠處為0，則方程7e最後的積分依然為0，因此，這就證明了設計場景二的目的:沒有外在的磁場作用在導體上，則距導體很遠處的磁力 H為0。

之後，論文以一段文字闡述總結了上述場景一和場景二的理論論證:

“這樣，在確定了作用在由一傳導電流穿過的物體上的力之後，從電子理論的觀點出發，通過指出極化電流和傳導電流對於電動力學作用是完全等價的，我們就得到了作用在由一極化電流所滲透的物體上的力。”

考慮到電現象和磁現象的對偶性，在電場中施加在由一磁極化電流所滲透的物體上的力為方程8:

Fa=IH/c (H·?p/?t)/c (E·?M/?t)/c

論文第二部分就此結束，第三部分題為《作用和反作用的相等》，這一部分總要綜合前面兩部分的內容，給出了作用在每單位體積物質上有質動力X分量的總的表達式，其為方程9:

Fx=Ex·divD Px·?Ex/?x Py·?Ex/?y Pz·?Ex/?z Dx·?Hx/?x Dy·?Hx/?y Dz·?Hx/?z (1/c)·(IH)x (1/c)·(H·?P/?t)x (1/c)·(E·?D/?t)x

也可以寫成方程9a:

Fx=Ex·divE (1/c)·(IH)x (1/c)·(H·?D/?t)x Dx·divH (1/c)·(E·?B/?t)x ?(Px·Ex)/?x ?(Py·Ex)/?y ?(Pz·Ex)/?z ?(Dx·Hx)/?x ?(Dy·Hx)/?y ?(Dz·Hx)/?z-(1/c)·?(E·H)x/?t

利用麥克斯韋方程， 用旋度 curlH和 curlE代替(s ?D/?t)/c和(?B/?t)/c，經過簡單的變換，方程9a變為方程9c:

Fx=?Xx/?x ?Xy/?y ?Xz/?z-(1/c2)·?Бx/?t

其中，各參數如下:

Xx=-(E2 H2)/2 Ex·Dx Hx·Bx，

Xy=Ex·Dy Hx·By，

Xz=Ex·Dz Hx·Bz，

Бx=x(EH)x。

相應的方程對有質動力的其他兩個分量也成立。

通過將9c在無限的空間中積分，如果場矢量在無限遠處等於零，則得到方程9d:

∫Fxdτ=-(1/c2)·∫τ·dБx/dt

(注:方程右邊後來修正為“總時間導數在積分號前”。)

方程9d說明基於引入電磁動量，有質動力滿足作用與反作用相等的定律。

愛因斯坦和勞布第二篇關於運動媒質的電動力學論文《關於施加於靜止在電磁場中的物體上的有質動力》就此結束，此文1908年5月7日完成，《物理學年鑒》5月13日收到，最終於7月7日與運動媒質的電動力學論文首文《關於動體的基本電磁方程》一起發表。