学霸的征途是星辰大海 第25章 CMO省队集训

随后，张建国给每个人发了一厚沓全新的学习资料，然后便宣布：

「从现在开始，大家在教室内自习。这套资料，是我们为这次集训专门编写的，涵盖了CMO的所有核心考点和经典题型。有问题，可以随时到讲台上来，和我一对一交流。」

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教室里立刻响起了翻动纸张的声音。

徐辰也拿起了那份资料。

他粗略地扫了一眼。

第一部分，数论。从同馀理论到二次剩馀，再到高斯整数。

第二部分，组合。从鸽巢原理到容斥原理，再到生成函数和组合恒等式。

这些题目，对于其他队员来说，是需要反覆训练，或者查漏补缺的材料。

但对徐辰而言……

【索然无味。】

之前省赛的时候确实还欠缺这些技巧知识，但是现在的他已经补习过竞赛知识点了，知识点已经覆盖全了。

而且，现在的他，数学天赋已经到了【LV.1】，对数学的理解层次已经再次迎来质变。

所以现在再做这些其实已经是浪费时间了。

他收回思路，拿出了手机，点开了那个熟悉的公众号——「许康桦竞赛优学」。

相比于做这些已经完全掌握的题目，他发现，还是去那个最适合自己的悬赏任务处看看，那边更有意思。

他打开了之前收藏的一道试题。

这是一道被标注为「IMO」级别难度的组合几何题，悬赏金额为300元，发布已经快一周了，下面虽然有几十条讨论，但还没有人能给出让发布者满意的完整解法。

【题目：在一个平面上，给定n≥3个点，其中任意三点不共线。求证：存在一个由其中3个点构成的三角形，其外接圆的内部，不包含任何其他给定点。】

这是一个经典的「空外接圆三角形」存在性问题。

下面的评论区，已经有人给出了常规的解法思路：

「考虑所有点对构成的线段，取其中最短的一条，设为AB。再在剩下的n-2个点中，找到使∠ACB最大的点C，则△ABC即为所求。」

这个思路是正确的，也是竞赛教辅书上的标准答案。

但悬赏的要求，是给出「其他思路的解法」。

徐辰的目光在屏幕上停留了片刻，开始思考起来。

【常规解法，利用的是「最小」和「最大」的极值原理。那麽，是否可以从其他角度入手？】

【比如，凸包？】

【考虑这n个点的凸包。如果能证明凸包的某条边和另一个点构成的三角形满足条件……】

【或者，反证法？假设所有三角形的外接圆内部都包含其他点，能否导出矛盾？】

一个个念头在他脑海中闪过，又被他一一否决。

他很清楚，要从其他视角解决这个问题，本质上考验的是对数学各个分支之间内在联系的深刻洞察力。

【这道题，表面上是一个几何问题，但其内核，却是一个关于「存在性」的组合问题。常规解法是从几何角度出发，用极值来解决。那麽，是否可以反过来，用纯组合的，或者代数的，甚至拓扑的观点来审视它？】

这正是这类问题的难点所在。

对于绝大多数人而言，他们的知识体系是模块化的。几何就是几何，代数就是代数，组合就是组合。他们擅长在各自的模块内，运用熟练的技巧解决问题。

但要让他们进行「跨界」思考，比如用数论的方法去解决一个几何问题，或者用拓扑学的思想去构造一个组合证明，这就超出了他们的能力范围。

这需要一种超越模块化知识的丶对数学整体架构的宏观理解。需要能看到不同分支底层逻辑的共通之处，并搭建起沟通它们的桥梁。

这，正是徐辰在数学等级提升到【LV.1】后，所获得的最宝贵的能力。

【比如，凸包？考虑这n个点的凸包。如果能证明凸包的某条边和另一个点构成的三角形满足条件……这个思路不错，但似乎还是离不开极值。】

【或者，反证法？假设所有三角形的外接圆内部都包含其他点，能否利用这个假设，构造出一个无限递降的点序列或者某种几何结构，从而导出矛盾？这有点像费马的无穷递降法，是数论的思想。】

一个个念头在他脑海中闪过，又被他一一审视丶推演……

那道悬赏的组合几何题，比徐辰想像中要更棘手一些。

他尝试了几种不同的思路，但都发现，想要绕开经典的「极值原理」去给出一个同样简洁优美的证明，似乎总会陷入更复杂的分类讨论，或者需要引入更高级的工具。

徐辰很快意识到了问题所在。

「看来，我现有的知识体系，还是存在一些『盲区』。」

他虽然已经掌握了高中竞赛的所有内容，但面对这种IMO级别的难题，尤其是要求创新解法时，仅仅依靠现有的工具箱，还是有些捉襟见肘。

于是，在接下来二十多天的集训里，徐辰基本上都在学习大学数学知识，用于扩充自己的数学工具箱。

他每天准时来到教室，却几乎没碰过那套集训资料。他的桌上，摆放的永远是那些封面朴素的大学教材——《数学分析》丶《高等代数》丶《点集拓扑学讲义》……

这种「格格不入」的状态，自然引起了带队张老师的注意。

作为省队的总负责人，张老师对徐辰这位省赛状元寄予了厚望，自然也对他格外关注。

集训开始的第三天，张老师在课间休息时，把徐辰叫到了走廊上。

「徐辰同学，」张老师推了推眼镜，语气温和地问道，「我看你这几天，好像没怎麽做我们发的集训资料。是觉得题目太简单了，还是遇到了什麽困难？」

「都不是。」徐辰实话实说，「资料上的知识点，我之前都已经掌握了。我现在在按照自己的节奏，预习一些后续的知识。」

张老师愣了一下。

「都已经掌握了？」他有些难以置信。那套资料，是他和几位大学教授花费了大量心血编写的，难度和深度都远超省赛，就是为了让这些省一选手能提前适应CMO的强度。

「嗯。」徐辰点了点头。

张老师看着徐辰那双平静得不起一丝波澜的眼睛，一时间竟不知道该说什麽。

他想质疑，但对方是省赛唯一的满分。

他想提醒，但对方的自信又不像是在说谎。

最终，他只能叹了口气，拍了拍徐辰的肩膀：「好，我相信你有自己的学习计划。但还是要提醒你，CMO非同小可，千万不能掉以轻心。有什麽问题，随时来找我。」

「好的，谢谢张老师。」

在提出了几个问题后，徐辰都轻松对答，于是张老师后续也自然放松了对徐辰的关注。

毕竟，天才都是特殊的。不能用其他人的方式来管理天才，每个天才都有自己的方法。

徐辰，则在这段无人打扰的时间里，享受着知识疯狂涌入大脑的快感。

他发现，学习大学数学，对于解决那些竞赛难题，有着意想不到的「降维打击」效果。

比如，当他学到拓扑学中的「紧致性」概念时，再回过头去看那道「空外接圆三角形」的证明，瞬间就有了全新的思路。

【原来，常规解法里取『最短线段』和『最大角』的步骤，其本质，就是在利用平面有界闭集的紧致性，来保证极值的存在性。如果从这个角度出发确实不失为一个好的思路……】

新知识的获取和高强度的思考，让系统面板上的经验值，也在稳步增长。

二十多天下来，当集训即将结束时，他的数学学科经验值，已经从刚升级LV.1时的0/500，提升到了20/500。

虽然距离再次升级还很遥远，但这种持续进步的感觉，让他无比满足。

……

20天的集训很快就要过去，在集训结束的倒数第二天，张老师宣布，将进行一次完全模拟CMO流程的测验。

CMO的赛制是一共考两天时间，每天8点到12点半是考试时间，每场考试三道题，两天共六道大题。每题21分，总分126分。

「这次测验，不计入任何最终成绩，目的就是让大家提前感受一下CMO的氛围和压力。」

当最终的测验成绩，被张老师用投影仪打在幕布上时，整个教室，陷入了死一般的寂静。

第一名：徐辰。

第一场：63分（满分）。

第二场：63分（满分）。

总分：126分（满分）。

而排在第二名的赵瑞，总分是120分。

断层，鸿沟，天堑。

所有人都呆呆地看着那个刺眼的「满分」，感觉自己的认知被彻底颠覆了。

张老师拿着成绩单的手，在微微颤抖。他和其他几位参与阅卷的老师对视了一眼，彼此的眼中，都看到了难以掩饰的狂喜和激动。

他们本以为，徐辰省赛的满分，有运气的成分。

他们本以为，徐辰在集训期间的「不务正业」，是一种天才的任性。

直到此刻，他们才真正明白。

那不是运气，也不是任性。

那是一种绝对实力下的……降维打击！

「稳了……」

一位副手老师凑到张老师耳边，用梦呓般的声音说道。

「今年的CMO前三，感觉稳了。至于CMO第一，也不是不可能的事。」