学霸的征途是星辰大海 第26章 出征CMO

出征的日子来了。

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十一月十二日，清晨。

临安国际机场的出发大厅里，浙江省CMO代表队的25名队员。

这是徐辰第一次坐飞机。

带队的张建国显然经验丰富，将整个登机流程安排得井井有条。

徐辰坐在靠窗的位置，感受着飞机在跑道上加速时传来的强烈推背感，以及最终挣脱大地束缚丶冲上云霄时的轻微失重。

这种新奇的体验，让他的注意力在窗外停留了大约十分钟。

十分钟后，当飞机进入平流层，窗外的景色只剩下了一成不变的蓝天和白云时，新鲜感迅速褪去。

无聊，开始悄然滋生。

徐辰的思维，自然而然地，飘回到了一直在思考的那道数学题上。

那道悬赏300元的组合几何题。

【证明：存在一个由其中3个点构成的三角形，其外接圆的内部，不包含任何其他给定点。】

【常规解法利用了『极值原理』，其本质是『紧致性』。】

【那麽，能否绕开这种分析学的思路，用更纯粹的组合或者几何方法来证明？】

他的大脑，开始在没有草稿纸的情况下，进行「空想」推演。

【假设，我们对这n个点进行一种『生长』过程。想像每个点都是一个圆心，初始半径为0，然后所有圆以相同的速度，同步开始扩大半径……】

【这个过程，就像在平静的水面上同时投入n颗石子，激起n个不断扩大的同心圆涟漪。】

【当某两个圆的涟漪第一次相切时，连接它们的圆心，得到一条线段。这条线段的垂直平分线，就是这两个点『势力范围』的分界线。】

【当某三个圆的涟漪第一次同时交于一点时，连接它们的圆心，得到一个三角形……这个交点，就是这个三角形的外心！】

一个全新的丶基于「维诺图」和「德劳内三角剖分」思想的雏形，在他的脑海中，缓缓构建起来。

【这个由『第一次相交』的三个点构成的三角形，它的外接圆内部，不可能包含其他点。因为如果包含，那个被包含的点所对应的圆，必然会更早地与这三个圆中的某一个相交。这就与『第一次』相矛盾了！】

【这个思路似乎可行，但需要严格的数学语言来证明……】

两个小时的航程，转瞬即逝。

当他们走出武汉天河机场，一股与临安截然不同的丶略带湿冷的空气扑面而来。

CMO的承办方——武钢三中派来了大巴车接站。

领队老师带领着队员们，顺利入住安排好的宿舍。

……

第二天，是开幕式。

在武钢三中那足以容纳千人的大礼堂里，来自全国31个省丶市丶自治区的510名顶尖数学少年，齐聚一堂。

冗长但必要的领导讲话，让徐辰对CMO有了更清晰的认识。

一位来自组委会的领导站在台上，声音洪亮而严肃：

「同学们，首先欢迎大家来到英雄的城市武汉，参加本年度的中国数学奥林匹克，也就是CMO。在座的各位，都是从全国数百万高中生中脱颖而出的佼佼者，你们代表了中国中学生数学的最高水平。」

「在这里，我要向大家详细介绍一下CMO的赛制和意义。CMO不仅仅是一场考试，它更是一场选拔。它的全称，叫做『全国中学生数学冬令营』。『冬令营』这三个字，就说明了它的本质——集训和选拔。」

「本次冬令营，为期五天。核心是明后两天的两场考试。每场考试，从上午八点到中午十二点半，持续四个半小时，你们需要解答三道大题。这六道题，将全面考察你们在代数丶几何丶数论丶组合这四大领域的知识深度和创新能力。」

「根据你们的总成绩，我们将评选出金丶银丶铜牌。获奖比例大约在70%左右，也就是说，在座的大部分同学，都能带着奖牌回家。但是，奖牌的成色，将决定你们未来的道路。铜牌，是对你们进入全国决赛的肯定；银牌，将为你们敲开顶尖大学自主招生的大门；而金牌，则意味着你们将站上金字塔的顶端。」

「每年的金牌数量并不固定，但通常在百枚左右，上下浮动。这意味着，你们需要在510名顶尖高手中，排进前20%，才能确保一枚金牌。竞争，将会非常激烈。」

「而金牌，还不是终点！」领导的语气加重了，「在所有金牌选手中，总分排名前六十位的同学，将被直接选入国家集训队！这，才是CMO的真正目的！」

「进入国家集训队，你们将接受国内最顶尖的教练团队的指导，并经过两轮更为严苛的考试选拔，最终，决出六位最优秀的选手，组成中国国家队，代表我们的国家，去参加明年的IMO——国际数学奥林匹克竞赛！」

「从省赛，到国赛CMO，再到国际赛IMO，这才是每一位数学竞赛人所追求的丶完整的大满贯之路！你们的战场，不仅仅是这张试卷，你们的目标，是星辰大海，是为国争光！」

这番话，让台下的少年们热血沸腾。

开幕式的压轴环节，是一位头发花白丶精神矍铄的数学院士的演讲。当这位院士走上台时，徐辰明显感觉到，身边的带队老师们，甚至会场的工作人员，都下意识地挺直了腰板，眼神里充满了敬意。

徐辰第一次亲眼见到院士，那种不怒自威的学术气场，那种寥寥数语便能将深奥的数学思想讲得深入浅出的功力，让他真切地感受到了「泰斗」二字的分量。

整个过程，庄重而又充满了仪式感。光是讲话与合影留念，就占去了一整个上午。

下午，则是熟悉考场和校园自由交流。

……

当天晚上，张老师再一次将所有队员召集到会议室，进行最后的战前动员。

「明天早上，七点准时起床，七点半再去一号食堂吃早餐，不许迟到！」

「八点钟，我们准时从宿舍出发，步行前往考场。身份证丶准考证，今天晚上就给我放到文具袋里！」

「考完之后，不要在考场逗留，直接回到酒店大堂碰头，我会在这里等你们。不许讨论题目！」

张老师事无巨细地强调着每一个细节，让队员们紧张的心情，也平复了不少。

会议结束后，徐辰回到了自己的宿舍。

因为浙江队是25人，单出了一个，徐辰便主动申请了单间宿舍。对于这位满分状元，张老师自然也是有求必应。

徐辰洗漱完毕，躺在床上，却毫无睡意。

他又想起了那道组合几何题，以及自己在飞机上构建的那个「圆生长」模型。那个直观的丶物理图像般的思路，始终在他脑海中盘旋，让他心痒难耐。

他翻身下床，拿出草稿纸，开始将那个模型，转化为严谨的数学语言。

【设点集为P={p?，p?，...，p?}。对于平面上任意一点x，和任意一个p?∈P，定义一个距离函数d(x，p?)。】

【现在，考虑一个『时间』变量t≥0。对于每一个点p?，我们可以定义一个以它为圆心，半径为√t的闭圆盘B(p?，√t)。】

【我的思路是，找到第一个『时间点』t?，使得某三个圆盘B(p?，√t?)，B(p?，√t?)，B(p?，√t?)恰好交于一点。这个交点，就是△p?p?p?的外心。】

笔尖在纸上飞速地划过，一个个符号，一行行推导，让那个模糊的思路，变得越来越清晰。

【问题在于，如何严格证明这个『第一次』相交的时刻t?一定存在，并且是唯一的？】

【这涉及到连续性的问题。可以构造一个函数g(t)=min_{i≠j≠k}R(p?，p?，p?)，其中R是三个点的外接圆半径。当t增加时，这个函数……】

他的思路在这里卡住了。

他感觉自己已经抓住了问题的核心，就像一个登山者，已经看到了山顶的旗帜，甚至能感受到山顶的风。但脚下，却隔着一道看不见的丶深不见底的裂缝。

他需要一座桥梁，一个关键的引理，或者一个巧妙的转换，来跨过这道裂缝。

他尝试了反证法，假设在t?时刻，外接圆内部包含了另一个点p?。这意味着|x?-p?|＜|x?-p?|，其中x?是外心。这似乎能导出矛盾，但推导过程却异常繁琐，并且涉及到了复杂的几何不等式。

【不对，一定有更简洁的方法。】

他看着草稿纸上那堆复杂的符号，感觉自己似乎走偏了方向。

他看了一眼手机上的时间，已经快十一点了。

【算了，明天还要考试。】

他深吸一口气，强行中断了推导，将那张写满了符号的草稿纸，小心地夹进了书里。

收起杂念，关灯，睡觉。