学霸的征途是星辰大海 第29章 他终於动笔了

时间，在李振华教授的震惊中，又过去了半个多小时。

考场内，第一轮的交锋已经初见分晓。

有几位顶尖选手，已经成功攻克了第一道题，开始向第二座堡垒发起冲击。

考试时间四个半小时，平均每道题有一个半小时的充裕时间，但此刻才过去一个多小时，仍有大部分考生被困在第一道题的泥潭里。

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而徐辰，此刻终于停下了笔。

他长长地舒了一口气，脸上露出一种如释重负的丶纯粹的满足感。

他将那张写满了「天书」的草稿仔细看了一遍记在脑中，按照规定，稿纸不能带出考场，所以只能背下来，然后等着考试结束后再复现出来。

【终于……解开了。】

徐辰心中一片通明。

【虽然这300块钱不多，但这种攻克难题的乐趣，却是无价的。】

【而且，系统面板上，数学的学科经验值又增加了5点。看来，通过创新方法来解决数学题，确实是刷经验的好方法。既能锻炼思维，又能赚钱，还能拿经验，比单纯刷题有效率多了。】

【反正CMO竞赛考试对我来说已经毫无压力，拿到点系统经验才是最实在的。】

他整理了一下思路，目光，终于第一次，正式落在了面前的CMO试卷上。

也就在这时，他才注意到，身边不知何时多了一位监考老师，正用一种看外星人似的眼神，匪夷所思地盯着自己。

徐辰看了一眼墙上的时钟。

【九点零三分。已经过去一个多小时了？】

他对着李振华教授，略带尴尬地笑了笑，像个上课走神被老师抓包的学生。

李振华教授没有走远，他反而更好奇了。他想看看，这个浪费了一个多小时宝贵时间的「疯子」，究竟要如何应对试题上这三座连顶尖天才都感到棘手的迷宫。

随后，他就将见证自己执教生涯中，最为颠覆认知的一幕。

……

只见徐辰看向了第一题。

【题目一：求所有正整数对(a，b)，使得a2 b 3和b2 a 3均为完全平方数。】

李振华教授看到，徐辰只是盯着题目看了大约十五秒。

然后，他动笔了。

他没有进行任何复杂的放缩，而是直接引入变量代换，令a2 b 3=m2，b2 a 3=n2。紧接着，两式相减，得到(m-n)(m n)=(a-b)(a b-1)。

【很常规的开局。】李振华教授心想，【但接下来，才是这道题真正的陷阱所在。】

这个方程的陷阱，在于它会引诱解题者进入一个极其庞杂的分类讨论。你需要讨论a＞b，a＜b，a=b的情况，还要讨论m，n的奇偶性，每一个分支下又可能衍生出新的分支。这就像一个巨大的迷宫，走错一步，就会在无尽的代数变形中耗尽心力，最终迷失方向。

然而，徐辰根本没有踏入这个迷宫！

他笔锋一转，竟从「韦达跳跃」的思想中汲取灵感！这是一种在数论奥赛中被誉为「核武器」的技巧，专门用来处理某些丢番图方程。因在1988年IMO第六题，也就是那道被誉为史上最难的IMO题目之一的解答中大放异彩而闻名于世。

其核心思想，是将方程的一个解视为二次方程的根，然后利用根与系数的关系（韦达定理），构造出一个更小的解，通过无穷递降法导出矛盾，或者找到所有解的结构。

只见徐辰巧妙地将变量b视为常数，将原方程之一转化为关于a的二次方程，然后利用求根公式和整除性，直接建立起了a和b之间一个极其深刻的内在联系！

整个过程，行云流水，没有一丝多馀的步骤。他就像一个拥有上帝视角的玩家，直接看到了迷宫的终点，然后画出了一条直线路径，轻松地绕开了所有的岔路和陷阱。

不到十五分钟，他便写下了全部解：(1，1)和所有形如(k2-3，k)且k为大于等于2的正整数的解对。

李振华教授的呼吸，微微一滞。

【他……他轻松地绕开了所有的陷阱！用一种更高维度的视角，直接看到了问题的本质！】

如果说，之前那个京城四中的天才，是用精妙的剑法，一招一式地拆解了巨兽的防御。那麽徐辰，就像一个神明，只是淡淡地瞥了巨兽一眼，那巨兽便自动献上了自己的命门！

【这小子的数论功底，深不可测。】李振华教授心想。

徐辰没有停顿，目光移向了第二题。

……

徐辰没有停顿，目光移向了第二题。

【题目二：在一个10x10的棋盘上，放置了若干个「L」形的三格骨牌（可以旋转），每个骨牌恰好覆盖3个方格，且互不重叠。问：棋盘上最多能空出多少个格子？】

李振华教授的眼神也变得专注起来。这是一道经典的组合几何与染色问题的结合体，看似简单，实则是「不变量」思想的绝佳体现。这类问题的核心，不在于去尝试千万种具体的摆放方案，而在于找到一个在骨牌覆盖下保持不变的性质，从而导出数量的上界。

【关键，在于染色。】李振华教授的脑海中，瞬间闪过了几种常规的染色方案。

【最简单的黑白二染色？不行。】他立刻否定，【一个L形骨牌，要麽覆盖2个黑格1个白格，要麽1黑2白。这无法提供一个恒定的约束，变量太多，无法得出确定的上界。】

【那四染色法呢？根据坐标的奇偶性将棋盘染成四种颜色？】他继续思考，【这是一种更强的工具，在处理多米诺骨牌问题时有奇效。但对于L形骨牌……它的形状不规则，旋转后占据的颜色组合依然会变化，还是很难找到那个简洁的不变量。】

他知道，这道题的标准解法之一，就是通过一种更复杂的行染色或列染色，结合一些巧妙的代数论证来完成，过程并不直观，对学生的思维转换能力要求很高。他看到考场中已经有几位选手在尝试用不同的颜色涂抹草稿纸，但大多陷入了困境。

而徐辰，在短暂的思考后，动笔了。

他没有像其他人那样对整个10x10的棋盘进行染色，而是在草稿纸上，先画了一个3x3的方格。然后，用三种颜色，进行了一种奇异的丶从中心开始向外盘旋的螺旋式染色。

【螺旋染色？】李振华教授的眉头微微一挑。

这种染色方式他当然见过，在一些计算机图形学的算法，或者更专门的组合设计理论中，这是一种处理网格问题的非主流但有效的工具。但是，把它用在CMO的赛场上，用在解决L形骨牌问题上？这思路太野了！

紧接着，徐辰将这个3x3的染色「模版」，推广到了整个10x10的棋盘。

然后，李振华教授看到了让他拍案叫绝的一幕。

徐辰基于这种独特的染色方案，只用了短短几行字的论证，便得出了结论：在这种螺旋染色下，100个格子中，三种颜色的格子数分别为34，33，33。而任何一个L形骨牌，无论它如何旋转丶如何摆放，都必然会占据螺旋路径上位置相邻的三个格子（或者有特定位置关系），而根据三染色的循环规则，这三个格子的颜色，必然是红丶黄丶蓝各一个！

【我的天……】李振华教授感觉自己的喉咙有些发乾。

他瞬间明白了这种解法的恐怖之处。

【他……他找到了这个问题的『本徵态』！】

常规的染色法，像是用一把通用扳手去拧一颗奇形怪状的螺丝，总有些地方不匹配。而徐辰的这种螺旋染色法，就像是专门为「L形骨牌」这颗螺丝，量身打造的一把完美的丶唯一的钥匙！它将L形骨牌的几何特性，与染色方案的代数结构，完美地统一了起来！

因此，被骨牌覆盖的区域中，三种颜色的数量必然是相等的。而棋盘上数量最少的那种颜色（33个），就成了木桶的短板，决定了最多只能放下33个骨牌！

所以，最多能放置33个骨牌，覆盖99个格子。棋盘上，最多空出100-99=1个格子。

整个证明过程，简洁，优美，充满了数学的力量感。它完全绕开了去尝试具体摆放方案的巨大工作量，直接从最抽象的结构入手，一击致命。

【妙啊……真是妙到毫巅！】李振华教授心中赞叹不已，【这种发现问题核心结构并为之构造工具的能力，是成为一名优秀数学家的潜质！】

……

最后，是第三题。